Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бреховских Л.М. -> "Акустика слоистых сред" -> 78

Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.

Бреховских Л.М., Годин О.А. Акустика слоистых сред — М.: Наука, 1989. — 416 c.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка): akustikasloistihsred1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 72 73 74 75 76 77 < 78 > 79 80 81 82 83 84 .. 195 >> Следующая

описания поля в областях неприменимости геометрической акустики является,
по нашему мнению, метод эталонного уравнения, к изложению которого мы
сейчас и перейдем.
§ 9. Звуковое поле при наличии горизонтов поворота и резонансного
взаимодействия звука с потоком
В этом параграфе мы продолжим начатое в § 8 исследование звукового поля в
средах, параметры которых являются гладкими функциями z и мало изменяются
на расстояниях порядка длины звуковой волны. Будут рассмотрены задачи, в
которых приближения ВКБ недостаточно для описания поля. Идея
используемого при этом математического метода восходит к работам Лангера
[420, 421].
9.1. Метод эталонного уравнения. Пусть при любых значениях к0 известны
линейно-независимые решения Wi j2 уравнения
d^W/di}2 +klMW= 0, (9.1)
tjxzMне зависит от к0. В п. 3.1 показано, что функция
/(f) = (dT,/^r1/2^(7?(f)) (9.2)
является точным решением волнового уравнения (8.1) с эффективным
показателем преломления
ЛЧО = МГ) + (Т?')2^0?(Ш1/2, (93)
т = (4^)-1[2(1п7?')"-((1пт?')')2].
Здесь т7 - произвольная гладкая функция f, производные по f обозначены
штрихом. В общем случае по заданному профилю 7V(f) найти из (9.3) функцию
T)(f) не удается. Для высокочастотных волн wi(f) мало. Поэтому
приближенное решение волнового уравнения (8.1) можно получить, определяя
замену переменных из уравнения
77' = [7V2(f)/M(77(f))]1/2, или ] М"2Шп = }n(f)rff. (9.4)
Ч0 fo
В этом случае 77(f) не зависит от частоты. Отметим, что произведение при-
ближенного решения (9.2) на N1/2 зависит от f только через фазовый
интеграл
/W, )#1 = / ("202 - *7*0)' l2dz
174
(см. (8.2), (8.3)). Поскольку dp/d^ = (polp0l)dvldz, в рамках приближения
(9.2), (9.4) стратификация плотюсти среды сказывается только на амплитуде
волны; как и при лучевом подходе, величина f(t;(z))p~1/2 (z) не зависит
от стратификации плотности
Поправка т (( ) в (9.3) будет мало*, если производная (In 17')"
ограничена. Из (9.4) следует, что для вытеснения этого требования функция
М должна быть дважды непрерывно дифференцируемой, а нули и полюса ЛГ2(П и
М(т}(0) должны совпадать. Сформулированные условия служат для выбора
функции сравнения M(yt)- Если функции Л^2(() и М(т}) имеют одинаковые
особенности, то узавнение (9.1) позволяет построить высокочастотную
асимптотику волнового поля и называется эталонным [114] по отношению к
(8.1). Каждое эталонное уравнение позволяет найти асимптотику звукового
поля для целою класса зависимостей ) •
В ряде случаев приходится рассм;Тривать уравнения (8.1) и (9.1) с
функциями М(т?) или 7V(f), зависяцими также от к0. Например, такая задача
возникает, если угол падения шуковой волны зависит от частоты. Если M(i?,
*0) и N(?, *0) имеют конечные пределы Mt(т?) и 7V,(f) при к0 то при
построении асимптотических решений М и N в (9.4) нужно заменить на Мг и
Nx. Разности М - V1 и N2 - Ж,2 дадут дополнительный вклад в невязку m ((,
к0) коэффициентов волнового и эталонного уравнений.
Для оценки близости точного и приближенного решений удобно перейти от
уравнения (8.1) к интегральному. Для этого введем функцию Грина G(f > f
1) точно решаемого уравнения:
^(Г.ГОЖ2 +^[^2(0+ш((-)]С|Г,{-,) = -8(f-fi). (9.5)
Прибавляя к обеим частям уравнения (8.1) к1тФ и рассматривая правую часть
как неоднородность, получаем
Щ) = 0?'Г1/2&Ш))-*о / rffi"Ci)*(fi)G(f. г*)- (9-6>
- оо
Полезно преобразовать это соотношение в интегральное уравнение с
переменным верхним пределом интегрирования. Функция Грина определена
равенством (9.5) с точностью до произвольного решения однородного
уравнения. Последнее выберем так, что G = 0 при ( < (i. Интегрируя обе
части (9.5) по f от - е до (, + ( и устремляя значение е к нулю, получаем
G4f,fi) = 0, -^-1 =-1. (9.7)
При г > f,
G = (ч'Г1'2[Л1"Г1(ч(Г))+у1а"Г2(Ч(Г))]-
Определяя неизвестные коэффициенты А 1,2 из (9.7), находим G(C, (,) =
[T?'(Or?'(fi)r1/2?(r?,T?i)'
*(4,40= [%(V1)W2(V)- %(V)W2 (4,)]/w, (9-8)
где w = ^2(dWi/dT}) - W^dWildrj) = const - вронскиан, ? > f,, 77 = =
r?(f)- Vi =4(f0-
175
Потребуем, чтобы приближенное решение /(f) (9.2) и точное решение Ф(0, а
также их первые производные принимали одинаковые значения в некоторой
точке f0:
Ф(Го) = "I = /(Го), Ф'(Го) = в2 = /'(Г о). (9.9)
Учитывая равенство G нулю при f i > f и обращение интегрального члена в
(9.6) в нуль при f = fо, получаем Г
Ф(0 = /(f)-*S Wi)G(f,f,). (9.10а)
Го
Легко проверить, дифференцируя (9.10а) по f и учитывая (9.5) и (9.7), что
функция Ф(И удовлетворяет волновому уравнению (8.1) и начальным условиям
(9.9). Используя представление (9.8) функции Грина, формулу (9.10а) можно
записать следующим образом:
'/'(Г) = [*?'Ш] 1/2/(?)- fco f ^?l[w(f1)/7?'(f1)]^(f1)^(7?,7?1),
<р = (т?')1/2Ф. (9.106)
Соотношения (9.10) представляют собой линейные интегральные уравнения
Вольтерра (см. [72, гл. 4]) для функций <l>(f) и i^(f). Решения уравнений
можно получить методом последовательных приближений. Построим
итерационное решение для (9.106). В нулевом приближении
Предыдущая << 1 .. 72 73 74 75 76 77 < 78 > 79 80 81 82 83 84 .. 195 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed