Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
смещения-напряжения для Р - SV и SH волн те же, что и в более общем
случае трансверсально-изотропной среды. Эффективные значения упругих
постоянных даются прежними формулами (7.66), где под знаками усреднения
нужно положить X' = X, д' = д" = д. Тогда
X = 2<Хд (X + 2д)~' > + <Х(Х + 2д)_1>2/<(Х + 2д)-1>,
р=<р>, д=(д>, д' = <д(X + 2д)-1>/<(Х + 2д)_1>, (7.67)
д " = < 1/д )-1, X' = < Х(Х + 2д)_1>/((Х + 2д)_1>.
Таким образом, мелкослоистую изотропную среду можно рассматривать в
среднем как однородную, но анизотропную. Подчеркнем, что эффективная
среда может обладать совершенно иными свойствами, чем вещества,
составляющие период, если только значения их упругих параметров не близки
между собой. Например, пусть период состоит из однородных изотропных
слоев равной толщины с параметрами Xi ^ Х2, Д1 ^ д2, причем
Xi/Mi = ^-г/Дг- Из формул (7.67) получаем д " д2 /2, д' - д" " 2д1-
Поскольку д > д', то эффективная среда резко анизотропна.
159
Чтобы применить полученные результаты к жидкой периодической системе,
воспользуемся отмеченной в п. 1.3 аналогией между распространением звука
в слоистой жидкости и волн SH в изотропном слоистом твердом теле: они
описываются одинаковыми уравнениями и граничными условиями, если
установить соответствие по правилу р ~*и2, р~+ 1/р, с2 -*¦ р/р. При этом
компонента тензора напряжений ахъ = р ди2/дх3 перейдет в jo'1 Ър/Ъх3, или
согласно уравнению Эйлера - в icjv3, где с3 -' вертикальная компонента
скорости частиц. Поэтому для звука аналогом вектора смещения-напряжения
является величина/= (р, io3V3)T, а матри-
А Л
ца слоя равна А = exp[(z - z0)k], где аналогично (7.42) имеем
"11= "22= о, к12 =р, к21 = (?2 - к2)/р. (7.68)
Следуя изложенной в п. 7.2 схеме, формулу (7.68) можно было получить и
непосредственно из акустических уравнений (1.12), (1.13) и граничных
условий (1.21).
Эффективная однородная среда описывается матричным пропагатором
Л Л
A0(z,z0) = exp[(z -zq)Bq], где
(^o)i 1 = (^0)22 = 0. (^0)12 ={р), .
(50)2i=f2<P'*>-o;2<l/pc2>. '
Поскольку, вообще говоря, < р) Ф 1/< р-1 >, эффективная среда не является
жидкостью подобно тому, как для системы изотропных упругих слоев
эффективная среда не изотропна. Эффективную среду (7.69) можно будет,
однако, трактовать как жидкость, если рассматривать ее в другой системе
координат (х, у, z), где
z = qz, q - ({р)( р"1 ))т. (7.70)
В силу неравенства Коши - Буняковского [146, § 4.6]) q > 1, так что новая
система координат получается из старой растяжением по вертикали.
Л
Дифференцируя равенство/(z) = A(z,z0)f(z0) по z, получаем
df(z)/dz = B0A(z,z0)f(z0) = B0f(z). (7.71)
В новой системе координат вектор смещения-напряжения равен / = = (р,
icoqv3)T, и (7.71) записывается в виде df /dz = к/, или в виде f (z) =
exp[(z -z0)" ]/ (z"), где "11="22 - 0, "12 ~ ( Р ^
(7.72)
к 2 1 = ?2 < Р _1 > - со2 < 1 /рс2 >.
Сравнивая (7.68) и (7.72), мы видим, что при описании в ''растянутой"
системе координат эффективная среда будет жидкостью с плотностью
р = < р-1 Г1 и скоростью звука с = (<р-1 > < 1 /рс2 >)~1/2.
Оставаясь в исходной системе координат, ту же эффективную среду
приходится рассматривать как обобщенную трансверсально-изотропную
жидкость [198, гл. 5], имеющую разные значения плотности по
горизонтальным и вертикальной координатам. Такая обобщенная жидкость
описы-
160
вается уравнениями
dvi/dt= -pi1 др/дХ/, /=1,2;
Эу3/ Э t- -Р21 dpiдх3; dvi/dxt + 0,
(7.73)
которые при pi = p2,0 = 1/pjс2 перех'°Дят в уравнения (1.9), (1.10) для
звуковых волн в жидкости; /3 имеет смысл сжимаемости. Обычным образом
находим матрицу к для однородного слоя обобщенной жидкости:
к,,=к22=0, к12=р2, к21 = ?2/p,i - w20. (7.74)
Сравнивая эти соотношения с (7.69), ввидим, 4X0 эффективная среда
является обобщенной жидкостью с параметрами <р,> = <р р2 = (р>,
0=<1/р с2 >.
Полученные результаты позволяют1 исследовать и поглощение волн в
мелкослоистых средах. Для периодической вязкоупругой системы (изотропной
или трансверсально-изотропнс°й) эффективная среда будет описываться
прежними формулами (7.66)) > (7.67), где на этот раз значения упругих
постоянных комплексны. В ' частности, для вязкой жидкости с пренебрежимо
малой теплопроводное?(tm)0* когда X = X = Х0 - /co(f - 2т?/3), р = р = р" =
-iur), эффективная средЯ3 будет трансверсально-изотропным
вязкоупругим телом с чисто мнимыми! упругими модулями д и р" и
комплексными X, X' и р. Эффективную срредУ т°го же типа получим, согласно
формулам (7.66), и в случае чередовазния -жидких и твердых слоев. Для
применимости этих результатов толщи11113 слоя жидкости hl должна быть
достаточно малой по сравнению не толлько с длиной звуковой волны X, но и
с длиной ''вязкой" волны (7.12) \и> = 27г(2т?/сор)1/2 < X. Если вязкость
жидкости мала настолько, что Х" < h,i ^ X, а толщина твердого слоя по-
прежнему мала по сравнению с длинамии упругих волн в нем, то в первом
приближении вязкостью жидкости моожно пренебречь. Такая задача
рассматривалась в [52, § 12.4], [198, § ;5.5]. Ее частным случаем
