Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
Мы видим, что для применимости приближения ВКБ параметры среды должны
мало меняться на расстоянии порядка длины волны. Вертикальный размер
области, где применима формула (8.11), ограничен, но велик по сравнению с
пространственным масштабом/, изменчивости среды.
Второе из неравенств (8.12) является не только необходимым, но и
достаточным условием применимости (первого) приближения ВКБ (8.11). Пусть
в интервале (?ъ f2) выполнено 0 < N2 < °°. Рассмотрим точное решение
IP(f) уравнения (8.1), которюе в некоторой точке ?3 G (?i, f2) совпадает
с приближенным решением:
и'(Гз) = Фа3), dwids\t=tt = </Фда|г=?3-
Предполагается, что в экспоненте в (8.11) выбран один из знаков. Введем
обозначения
*(?) =Ф(Г)[1+ЫГ)], (8.14)
dN 1 + 5! (?)
dW ... S
- =±ik0Nll2ехр( ±ikQ f Nd$ ) as
1 +6 2G)±i-
dS 2 k0N2
Функции 612 (Г) характеризуют отличие точного решения от ВКБ прибли-
165
жения. Их оценка была получена Олвером [463,464]:
|51>2(?)1 < ехр [21 F(f, f3) I] - 1. (8.15)
Аналогичная оценка доказана также и при N2 < 0 [463, 464]; [258, гл. 2].
Величина F (8.12) пропорциональна кд1. Поэтому при фиксированном угле
падения для достаточно больших со приближение ВКБ становится применимым в
любой среде, где параметры р, с, v0 являются гладкими функциями z, а N не
обращается в нуль и бесконечность. В однородной среде F=0h (8.11)
является точным решением волнового уравнения.
При распространении звука в волноводе для нормальной волны фиксированного
номера f/co является функцией частоты, и стремление со к бесконечности не
гарантирует применимости приближения ВКБ. Условие применимости словесно
можно по-прежнему формулировать как требование медленности изменения
параметров среды по сравнению с вертикальной зависимостью звукового поля.
ВКБ-приближение оказывается пригодным для описания нормальных волн
достаточно высоких номеров (см. [52, § 49], [79]).
На больших расстояниях от источника .становятся существенными
накапливающиеся с расстоянием погрешности в фазе нормальной
волны,вычисленной в приближении ВКБ. При определении границ применимости
решения по горизонтальным координатам существен учет интерференции
нормальных волн.Эти вопросы рассмотрены в [51], [52, § 45 и 48].
Интересные качественные оценки расстояний, на которых можно пользоваться
лучевым расчетом различных характеристик акустического поля в подводном
звуковом канале в океане, приведены в работе [71].
Из выражений (8.2) и (8.10) следует, что формула (8.11) неприменима в
окрестности горизонтов, где выполнено одно из условий:
0(zc) = 0, (8.16)
n(?r)P(zr) =
= ± (1 tt/QCo'sin 0О)_1 sinв0 = ±%/к0. (8-17)
В окрестности горизонта z = zc, как мы уже отмечали в п. 1.2, происходит
резонансное взаимодействие звука с потоком; z =zr - горизонт поворота
звуковой волны. Здесь обращается в нуль вертикальная компонента (к202 -
I;2)1/2 волнового вектора. Поведение акустического поля в окрестности
горизонтов zc и zr будет рассмотрено ниже, в § 9. Выясним здесь, при
каких z можно пользоваться приближением ВКБ при наличии точек поворота и
резонансного взаимодействия с потоком. Допустим, что характерные
пространственные масштабы изменчивости с, v0, р по порядку величины
совпадают и равны L, n(z) - 1, p(z)/p0 - 1.
Пусть в окрестности точки поворота | z - zr \ ^ L нет точек резонансного
взаимодействия, так что (3(zr) - 1. Будем считать приближение ВКБ
применимым вне области |z - zr | <С dr. О величине dr сделаем
оправдываемое дальнейшим расчетом предположение dr < L. Поскольку
масштабом изменения N2(z) служит величина L, то во всей области I z - zr
\ ^.d можно заменить TV2 (z) первым необращающимся в нуль членом его
тейло-
166
ровского разложения*) в окрестностиzr:
N2(z) = a(z - zr) + 0(d2r/L2), \a \ "Г1.
Тогда из (8.10) получаем e - (k0LN3)~2. Каждое из неравенств (8.12)
приводит к условию
|z-zr| > (L/k20)43, или dr " (L/kl)1!3. (8.18)
Оно обеспечивает и вьшолнение неравенства (8.20), которое потребуется нам
в дальнейшем при физической интерпретации ВКБ-приближения.
Вертикальная протяженность области неприменимости лучевого подхода,
согласно (8.18), велика по сравнению с длиной волны X = 2ir/nfik0, но
много меньше L. С ростом частоты волны эта область неограниченно
сужается: dr "= со-2/3.
Если угол падения волны не мал (| - к0), то вблизи точки резонансного
взаимодействия zc нет точек поворота. Вновь предположим, что окрестность
| z - zc | у dc точки zc, в которой приближение ВКБ неприменимо,
узка по сравнению с L. Тогда в этой области (3 = b(z - zc) + 0{d\jL2\
\b\-L~l, a Nfi2 = (ipoE/p(zc)*o)[l +0(dc/L)]. Из (8.10) получаем, что e
** ko2(z - zcy2. Согласно (8.12), условием применимости приближения
(8.11) при % - к0 будет
|z-zc | > ко1, или dc <=* ко1- (8.19а)
Таким образом, dc У L и по порядку величины совпадает с длиной звуковой
волны вдали от точки zc.
При z - zс вертикальная компонента волнового вектора равна г?. Волна,
падающая под пологим углом (? - ко), приходит на этот горизонт с
