Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
примем i^°^(f) = (v')l^2f (Г) и положим
*,<'>(?) = *<°>(?)-*S / rff 1 И (f, )/lj'(f 1 )] (° >(f 1 ) ^ (т?, т? 1
), /=1,2,...
Го
(9.11)
l-ю итерацию можно представить в виде суммы повторных интегралов:
*><г>(Г) = 2 /"(f), /0 = *<°>,
. , Г т(и,) ... "¦ т(и2)
h = (-*о) / dux ¦ ?>(0)(и,)*(17,Т7,) / du2 -г-- X Г" 17 (Wi) Г"
т?(м2)
X y>(0)(H2)g(771,172). • ¦
"p-i ... /
fo V (Мр)
(9.12)
где н0 = Г, *?" = *?(иД ь> = 1, 2,...
Пусть функция g, образованная из решений эталонного уравнения,
ограничена: lg(T?i,t?2)KA D = const. Тогда при f>fo
14(01 < (кЮУ f dut
Г о
ffl(H1)(^(0)(H1)
4'("i)
Ир_|
/.
</и"
Щ(Цр)^(0)(цр)
[k\DF($, f0) Г
(9.13)
176
где
F($, ?о ) = / du, | m (и,) ^{°)(м, )/tj'(u ,) |. (9.14)
fo
При ? < f0 B (9-13) функцию F(?, f0) нужно заменить на F(f0> О-Из оценки
(9.13) следует, что на любом конечном интервале f последовательность
итераций (9.11) равномерно по ? сходится к решению интеграль-
оо
ного уравнения (9.10) >р= 2 /у((), причем
V = 0
1*(Г)-*(|)(Г)1 < 2 (klD\F(S,S0)\vlv\ = _ 2 е>!
' '+1 *'~° (9.15)
Q = k%D | F(f, ?0)1-
В частности, полагая / - 0, для разности асимптотического (9.2) и точного
решений волнового уравнения получаем оценку сверху:
|Ф(Г)-/(Г)1 < |т?'Г1/2(ей-1). (9.16)
С ростом к0 величина W в (9.1) становится быстро изменяющейся функцией т?
и согласно (9.8) g(r/, r?i) ^ 0 при к0 -"¦ Так, при М = Arf* и а > 1
имеем |20"(т?)/"20'(т?) feo^"+2^ иЛ* fco2/("+2>. Из (9.3) и
(9.14) видно, что fc2F не зависит от к0. Поэтому при к0 -*¦<*>
параметр Q мал, последовательность итераций (9.11) быстро сходится, а
разность точного решения и асимптотики (9.2) стремится к нулю.
Достаточным условием применимости этой асимптотики будет
*o0|F(r,ro)l " 1. (9.17)
В частности, для степенной функции М(т?) величины / и Ф совпадает с
точностью до множителя 1 + 0((k0L)~2^€l+2^), где L - характерный
пространственный масштаб изменчивости среды. Последующие члены разложения
Ф(И по степеням 1 /к0 даются формулой (9.12). Их также можно получить,
если искать решение уравнения (8.1) в виде Ф(?) =/(?)<7i (?) + + коуf'(f
)<7з (f) * гДе параметр 7 > 0 определяется видом эталонного уравнения
(9.1), а функции ,2(?) разлагаются в ряды по целым степеням 1 /к0 [420,
443]. Об этом методе решения волнового уравнения речь пойдет в п. 17.2. В
другом подходе [286] асимптотическое решение ищется в виде (9.2), причем
для г)($) строится итерационное решение уравнения (9.3), в котором (9.4)
служит нулевым приближением.
Читателю, заинтересованному в более детальном изложении метода эталонного
уравнения, следует обратиться к математической литературе [66, 114, 201,
202, 258, 421, 461].
Рассмотрим пример. Пусть во всем рассматриваемом интервале значений f
эффективное волновое число N($) не обращается ни в нуль, ни в
бесконечность. Тогда в качестве функции сравнения можно взять постоянную:
М($) = 1. Асимптотическое решение волнового уравнения имеет вид (см.
(9.2), (9.4))
i i
/(?) = N~l /2(CXFi exp(ik0 fNd^+B, exp(-ft0 / Nd^ )], (9.18)
12. Л.М. Бреховскнх
177
это совпадает с решением (8.11), полученным в приближении ВКБ. Невязка в
коэффициентах эталонного и волнового уравнений равна
и" (Г) = (4^)'1[2(ln7V)''-((ln7V)')2] = -2 N2$)e($), (9.19)
где e(f) определено формулой (8.10). Теперь становится ясно, почему
требование малости е, возникшее в § 8 при сравнении первого приближения
со вторым и третьим, обеспечивает возможность пренебрежения поправками
всех старших принижений метода ВКБ. Функция Грина (9.8) запишется в виде
С(Г..Ы = №)Л(?2)Г1/2*(Ч|,Ч2).
Г,., 1 (9.20)
77i,2 = f g(т?, тh) = sin fc0(77i - Ча).
f0
Пусть (V2(?) > 0, тогда в [9.17) можно положить D = к^1. Достаточным
условием применимости асимптотики (9.18) будет
к0 /|ЛГ(Г,-)е(Г|)МГ| < 1. (9.21)
г.
Легко убедиться, что оценка (9.16) в рассматриваемом случае совпадает с
(8.15).
9.2. Звуковое поле в окрестности точки поворота. Следующим по сложности
после рассмотренного выше примера будет случай, когда функция N2($)
ограничена и имеет (в рассматриваемом диапазоне значений f) единственный
нуль. Совместим с ним начало отсчета координаты f и будем считать, что
(/V2 (0))' Ф 0. Из (9.4) видно, что для ограниченности I/17' необходимо
обращение значения М в нуль при т? = т?(0). Простейшей функцией
сравнения, обладающей этим свойством, будет М = а[т? - 4(0)], где а =
const. Полагая 4(0) = 0, из (9.4) получаем
д1/2 fr}ll2dT) = fJV(?)d{, или rj = [3^(f)/2fl1/2] 2/3, (9.22)
о о
где
V(t) = fNdt. о
Будем считать для определенности, что a >0,N2 >0 при f > 0 и N2 < 0 при f
< 0. Функция 4(f) является трехзначной. Удобно выбрать такую регулярную
ветвь степенной функции, чтобы 17 было вещественным при вещественных ?.
Для этого прнмем arg (f) G [0, 2эт). Тогда при f > 0 имеем у > 0 и 17 >
0. При ? < 0 N = i | N\ получаем ^> = 11р |ехр(Зяг/2) и 4 = = | г? |ехр
(/ 7т). (Под степенью w" комплексного числа w= |w|exp(/arg w) мы
подразумеваем, если не оговорено противное, что | w|" exp (га arg w )).
