Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
вертикалью.
Учтем теперь движение среды. Как видно из (8.11), стратификация скорости
течения сказывается и на амплитуде волны, и на ее фазе
Из (8.26) следует, что q2 = к2^2 = co2c~2(z) (1 - $v0/co)2, отсюда имеем
Дисперсионное уравнение (8.28), полученное в приближении ВКБ, имеет тот
же вид, что и дисперсионное уравнение (1.36) в однородной движущейся
среде, но теперь q и v0 могут изменяться от точки к точке. Для фазовой и
групповой скоростей получаем выражения, аналогичные (1.35)
Здесь величины v0, с, q являются функциями z. Результат (8.29) впервые
был получен Рэлеем [242]. Доказательство равенства скорости
распространения звуковой энергии в движущейся среде и групповой скорости
cg дано в [32]. Из (8.29) и (8.30) следует, что cg > срь- Модули и
направления векторов cg и cph совпадают только при условии ±v0ll{. В
точке поворота обе скорости направлены горизонтально.
Как и в неподвижной среде, каждой из двух волн (8.11) можно сопоставить
свою систему лучей. Все лучи образуют один и тот же острый угол ф(г) с
осью Oz. В пределах системы отдельный луч можно задать,
(8.25)
Волновой вектор q = Vip равен
q = (?, 0, ±fc"(л202 -(1 +Hoco1sin0o)'2sin20o)1/2) = = k(z)P(z) (sin
0(z), 0, ±cos 0(z))
(8.26)
и образует с осью Oz угол 0(z) = arcsin[?/(fc(z)0(z))].
(8.27)
со = q(z)c(z)+q(z)v0(z).
(8.28)
и (1.37):
cph(z) = сoq/q2 = (c/q *-q\0q~2)q, cg (z) = boj/bq = v0 +cq/q.
(8.29)
(8.30)
169
например, координатами (х0, .уо) точки пересечения плоскости z = z0; все
лучи можно совместить друг с другом горизонтальной трансляцией. В связи с
отличием фазовой и групповой скорости в движущейся среде приходится
делать различие между законами преломления нормали к волновому фронту v =
q!q и касательного к лучу единичного вектора т = Cg/Cg. Вектор v(z) лежит
в вертикальной плоскости, проходящей через вектор Угол, образуемый
вектором v с осью Oz, дает формула (8.27). Если выразить в ней { через
значение в на каком-либо фиксированном горизонте z = z0, то закон
преломления нормали к волновому фронту выразится равенством
m(z) + c(z)/sin 0(z) = и0 +с0/sin в0 ~ const. (8.31)
Для дискретно-слоистой среды этот результат был получен в § 2 (см.
(2.86)).
Если вектор Vo не лежит в плоскости падения волны, то луч, согласно
(8.30), не является плоской кривой. Проекции вектора г на оси координат
легко получить из (8.30) и (8.26):
r(z) = (с2 + vl + 2си sin в)~1 l2(c sin в + и, v0y, ±с ¦ cos в),
(8.32)
где v0у - проекция v0 на ось Оу. Иногда бывает удобнее задавать единичный
вектор т с помощью углов ф между г и осью Oz и а между ( и проекцией т на
плоскость ху (рис. 8.1):
т = (sin ф cos a, sin ф sin а, ± cos ф). (8.33)
Из (8.32) получаем
tga = voy/(c sin в + м), cos ф = с • cos в (с2 + vl + 2си sin 0)-
1/2.(8.34)
При стремлении скорости течения к нулю различие между v н т исчезает, ф -
+0,а равенство (8.31) переходит в закон Снелля (2.196).
Компонента u0y(z) скорости течения не входит в уравнение (8.1) и не
сказывается на поле волны с гармонической зависимостью от горизонтальных
координат и времени, хотя при разных профилях и0у (z) в точку (х, у, z)
приходят разные лучи. Однако зто не меняет поля, так как звуковое
давление на каждом луче системы имеет одно и то же значение.
Лучевой акустике слоистой или трехмерно-неоднородной движущихся сред и ее
применению для изучения звуковых полей в океане и атмосфере посвящено
большое число работ [32, 102, 212, 219, 271, 329, 375, 405,
Рис. 8.1. К определению направлений нормали v к волновому фронту и
касательной т к лучу в движущейся среде
170
415, 454, 499, 523, 524, 535, 542] и гр. Полученные результаты и история
вопроса освещены также в обзорах |213, 315]. Поле точечного источника в
лучевом приближении мы рассмотрим в гл. 4.
8.2. Другой вывод приближения геометрической акустики. Дадим другой
вывод приближения геометрической акустики, что позволит дать наглядную
интерпретацию дальнейшим приближениям. Этот подход был предложен
Бреммером. Мы будем следовать в основном работам [312, 313, 301], но
несколько обобщим изложение. Огличие от метода, описанного в п. 8.1,
состоит в использовании сходящихся разложений вместо асимптотического
ряда (8.6).
Волновое уравнение (8.1) эквивалентно системе
/= ЭФ/af, a//af = -к20 аг2ф. (8.35)
В неподвижной среде с р = const мокно считать f = z, /V = n(z)cos 0(z).
Ниже мы ограничимся наиболее интересным случаем N2 > 0. Будем искать
решение системы (8.35) в виде
S г
ф = JV x/2{Xi еХр(/*0 /M/f) + X2exp(-ifc0 /JVdf)], (8.36a)
о о
Г f
f = i*0WI/2[xi exp(i*0 fN<K) - X2 ixp(-i*0 /Mif)], (8.366)
о 0
где Xj 2(f) ~~ новые неизвестные функции. Заметим, что при Xi 2 ~ const
(8.36а) является суммой решений (8.11). Подстановка (8.36) в (8.35)
приводит к системе уравнений первого порядка для Xi и Хг:
dXi Xi / Э \ Г
= - (- In N) exp (-2ik0 f Nd$ ),
dt; 2 Vaf /
(i-b,),
dx2 Xi ( Ъ \ r (8.37)
- = ln^J exp (2it" /Щ).
dt; 2 \ 3f / 0
Предполагая, что 0(ln7V)/c?f достаточно быстро стремится к нулю при I f I
