Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
экспоненциально малой амплитудой. С другой стороны, при условии {v0 = 0
уравнение (8.16) вообще не имеет решений. Поэтому при исследовании
резонансного взаимодействия звука с потоком важен случай падения под
малым, но отличным от нуля углом 0О, причем проекция и вектора v0 на
направление ? не должна быть малой; u/v0 1- Тогда %2 < к%, и в
окрестности zc, согласно (8.17), имеются две точки поворота. В этом
довольно специальном, но интересном случае анализ применимости
приближения ВКБ по-прежнему удается провести на основе неравенств (8.12).
Для малых углов падения при \z-zc\-dc:N = {р0п/&р)[\ + 0{%2/к^р2)]. Из
(8.10) получаем, что е - (k0L(l2y2. Условием применимости приближения
(8.11) в этом случае будет
I z - zc | > (L/k0)1/2, или dc =* (L/k0)112- (8.196)
Поскольку здесь при выводе мы считали ?2 )к% у. $2(zc + dc), то оценка
(8.196) относится к волнам с % у (k0IL)1^2. Значение dc в (8.196)
значительно больше, чем в случае (8.19а), dc > dr, но, как и ранее, dc <
L. Расстояние от zc До двух ближайших точек поворота | z, - zc | =* -
%Lfk0 У dc. Как и следовало ожидать, эти точки не попадают в область
(8.196), где можно использовать приближение ВКБ.
*) Если значение | а | мало, | а | <L~', но \ d2N2/dz2\ ^ L~2, то имеются
две близ-
кие точки поворота, в этом случае рассмотрение проводится аналогично, но
в разложении Л'2 нужно учитывать квадратичные по (z - zr) члены.
167
Перейдем к физической интерпретации полученного методом ВКБ приближенного
решения волнового уравнения. Выражение (8.11) представляет собой
совокупность двух волн, распространяющихся без взаимодействия в
направлениях, симметричных относительно горизонтальной плоскости. Таким
образом, в первом приближении геометрической акустики отражение волн
отсутствует. Выражение в экспоненте дает набег фазы волны при
распространении между горизонтами, служащими пределами интегрирования.
Предэкспоненциальный множитель обеспечивает выполнение закона сохранения
энергии. Подстановка (8.11) в формулу (6.7) показывает, что при N2 > 0
средняя за период колебаний z-компонента вектора плотности потока
мощности 12, как и в плоской волне, не зависит от z и для: двух встречных
волн отличается только знаком. При N2 < 0, как и в неоднородной плоской
волне,/г = 0.
Решения (8.11) часто рассматривают в качестве локально-плоских волн с
медленно изменяющейся амплитудой. Чтобы такая интерпретация была
оправдана, должно выполняться приближенное равенство
ЭФ/Э? " ±ik0N1l2exp(±ik0 fNd$).
Производную ЭФ/af можно получить из (8.14), полагая = б2 = 0. Мы видим,
что амплитуду можно считать медленно меняющейся при условии
(2k0N2yldN/d$ < 1, (8.20)
которое, вообще говоря, не является необходимым для применимости
приближения ВКБ в форме (8.11). Например, при р = р0> 0о = 0 и п = = (а +
bz)~2 (где а и b - произвольные постоянные), имеем е = 0, согласно
(8.10), и формула (8.11) дает точное решение уравнения (8.1):
Ф = const • п~1!2 exp (+ ikob^n1!2). (8.21)
Рассмотрим диапазон значений z, где п - 1. Амплитуда волны (8.21)
медленно меняется по сравнению с фазой только при дополнительном условии
| b | < к0, которое согласуется с (8.20). Однако если исключить особые
случаи, подобные (8.21), неравенство (8.20), как и первое из условий
(8.12), сведется к требованию k0L > 1 и будет выполнено в области
применимости приближения ВКБ.
Проанализируем звуковое поле в лучевом приближении подробнее. Пусть
вначале среда неподвижна. Ось Ох направим по вектору Тогда общим решением
(8.1) в приближении ВКБ согласно (8.11) будет
р(х, z) = р1/2(п2 -sin290)~l/4[Ciexp(ik0f у/п2 - sin260dz) +
zi
Z ------------------------
+ C2 exp(-г&0 / v"2 -sin20o</z)]exp(i?x), (8.22)
где zb Сi и Сг - произвольные постоянные. Подчеркнем, что стратификация
плотности сказывается только на амплитуде волны. Рассмотрим волны,
получающиеся при Ci Ф 0, С2 = 0 и С\ = 0, С2 Ф 0. Их фронты (поверхности
равных фаз) определяются уравнением г --------------------------------
Ip(x,z) - :±к0 f у/п2 - sin2 0Оdz - const. (8.23)
zi
168
Введем удовлетворяющий закону Снелля (2.196) угол 0(z) =
= arcsin [?/(&ол(г))]. Тогда волновой вектор, определяемый как градиент
фазы волны, равен
Я ~ (?,0,±ко(п2 - sin20о)1/2) = k0n(z) (sin 0(z), 0, ±cos 0(z)).
(8.24)
Здесь 0(z) имеет смысл острого угла, образуемого волновым вектором с осью
Oz. В точке поворота 0(zr) = 7г/2. За точкой поворота, где п < sin 0О,
угол 0 принимает комплексные значения. При вещественных 0 фазовая
скорость волны равна cph = сoq/q2 и совпадает е местной скоростью звука:
Cph = c(z). Из формул (2.11) и (8.22) следует, что вектор плотности
потока мощности параллелен вектору q. Согласно (8.24) групповая скорость
cg = boj/bq = b[qc{z)] jbq = cph.
Луч определяют как линию, касательная к которой в каждой точке
параллельна вектору плотности потока мощности. В неподвижной среде луч
ортогонален фронтам. Каждому из рассматриваемых решений (8.22) можно
сопоставить семейство параллельных лучей, образующих угрл 0(z) с
