Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
" 1 1 = к 1 3 = "2 2 = "2 4 = "31 = "33 = "4 2 = "4 4 - О, "12 = "3 4 =
*'?"
"14 = 1/14", "21 ="43 =-i?X'/(X'+-2д'), "23 = 1/(Х' + 2д'), (7.43)
"32 = -рсо2, "4, = рш2 - ?2 [X + 2р - Х'2/(Х' + 2р')].
В анизотропных средах наблюдаются весьма интересные явления,
обусловленные взаимодействием упругих волн с физическими полями другой
природы и не проявляющиеся в изотропной среде. Наибольшее практическое
значение из них имеет пьезоэффект, используемый для преобразования
электромагнитной энергии в акустическую и обратно, на чем основаны
излучение и прием звука. Пьезоэффек т заключается в том, что в кристаллах
определенных типов симметрии механические напряжения, возникающие при
помещении тела в электрическое поле, пропорциональны его напряженности.
Такие вещества называют пьезоэлектриками. Имеет место и обратный эффект:
при деформации пьезоэлектрика в нем появляется поле, пропорциональное
величине деформаций. Математически это выражается равенствами [170, § 17]
aij~ Cijklukl - &kijEk> (7-44)
D{ = Doi + e,j Ej + pi;k ujk. (7.45)
Здесь E и D - напряженность и индукция электрического поля, е,, - тензор
диэлектрической проницаемости, D0 = const - вектор пироэлектрической
индукции, fikij называют пьезотензором. Соотношение (7.44) обобщает закон
Гука (7.18) на случай пьезюэлектриков. Из симметрии тензора напряжений
следует инвариантность пьезотензора относительно перестановки второго и
третьего индексов: = /3*,,. Повторяя сказанное выше при
обсуждении тензора Cijkl трансверсально-изотропной среды, легко показать,
что в кристалле, имеющем ценлр симметрии, любой тензор третьего ранга
равен нулю. В частности, /3*,,- = 0, т.е. пьезоэффект отсутствует, в
изотропной среде.
Электромагнитные поля, возникающие при распространении упругих волн в
пьезоэлектрике, можно описывать уравнениями электростатики rotlf = 0,
divD = 0, поскольку скорости этих волн много меньше скорости света.
Выражая напряженность Е черюз потенциал электрического поля <р: Е = -
V<р, из уравнений (1.50), (7.44), (7.45) и divD = 0 в однородной среде
получаем
Ъ2щ _ ^ Ъик1 я Э2р
Эг Эх, Эх* Эхе, (7 46)
d2tp ди;к
ей - = Piik-^-
' Эх, Эх, " Эх,
Заметим, что электрический потенцщал обладает такой же периодичностью во
времени и пространстве, что и поле смещений. Для плоской гармонической
волны
и = vexpi(krijXj - cot), <р = ^expi(Akn,x, - сот), "/"/= 1 (7-47)
153
система уравнений (7.46) дает ф = 0,,* и, и, и*/(е;т и,ит) и (Г,* -
poj2k~25lk)vk = 0,
Г^'к - Г/к "*¦ (@jisttjtts)(fiprkНрПг)1 (^imninm)•
(7-48)
Величину q, определяемую равенством Г,* (1 + q2) = f(k, называют
коэффициентом электромеханической связи. Как правило, q значительно
меньше 1. В отсутствие пьезоэффекта q - 0 и (7.48) переходит в (7.20).
Фазовая и групповая скорости упругих волн в пьезоэлектрике определяются
при
помощи уравнения Кристоффеля (7.21), где Г,* следует заменить на Г,*.
Пьезоэффект не только сказывается на величинах скоростей упругих волн в
кристалле, но и приводит к появлению новых типов поверхностных волн.
Рассмотрим распространение поперечной поверхностной волны в
пьезоэлектрическом кристалле класса С6и, ограниченном плоскостью z = 0, в
направлении Ох, перпендикулярном оси симметрии кристалла Оу. Тип
симметрии кристаллов класса С6и относится к гексагональной синго-иии. Они
имеют шесть плоскостей симметрии, проходящих через ось симметрии шестого
порядка. Поэтому их диэлектрический тензор диагоналей, причем 6j j = е33
= е; в пьезотензоре отличны от нуля только компоненты 02 2 2 , 0i 12 = 03
2 3 - 0 И 021 1 = 02 з з; в тензоре модулей упругости Cl 2 12 = = ^2 323
= С, а компоненты, содержащие какой-либо индекс нечетное число раз, равны
нулю. (В обозначениях, которые мы использовали для трансверсально-
изотропных сред, С = р'.) Вектор D0 направлен вдоль оси кристалла: Doi =
D03 =0.
Поверхностную волну будем считать плоской. Тогда потенциал tp и
единственная компонента смещения и2=и не зависят от у. Отличны от нуля
только компоненты и 12 = 0,5Эи/Эх, игг = 0,5 9"/9z, a2i = СЪи/Ъх + +
/ЗЭ^/Эх, а2з~ СЪи/Ъг + /3 dip/bz тензоров деформаций и напряжений. При z
< 0, т.е. внутри пьезокристалла, уравнения (7.46) дают
pd2u/bt2 = (С + /32/е)Д", Д^ = /Зе_1Дц. (7.49)
В вакууме над кристаллом, т.е. при z > 0, и - 0, а функция \р
удовлетворяет уравнению Лапласа Д<р = 0. На плоскости z = 0 должны
выполняться механические и электрические граничные условия. Первые
состоят в равенстве нулю напряжений а3; . Поскольку в рассматриваемой
задаче а13 = = а3 з = 0, то остается потребовать
(C9u/9z+/39^/9 z)2=o = 0. (7.50)
На свободной границе пьезоэлектрика должны быть непрерывными
тангенциальные компоненты вектора Е и нормальная компонента вектора D.
Это означает
[Э^/Эх]г = 0 = 0, (еЭ^/Эг-/ЗЭи/Эг)2 = _0 = (Э^/Эг)2 = +0. (7.51а)
Представляет интерес также другой случай, когда поверхность кристалла
электрически закорочена. Практически это достигается нанесением тонкой
металлической пленки, которая почти не влияет на граничные условия для
