Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
связь малых деформаций и тензора напряжений имеет вид [31]
А Л ди t а / bill ЭU: \
В!(Г)аи = В2(t)6" T- + B3(0(~L+-~A). (7.13)
дхк \ Ъх/ dXj /
Для монохроматических волн интегро-дифференциальные операторы
Л
Bj{t) превращаются в функции от -/'со, которые принимают, вообще говоря,
комплексные значения. Обозначая Л = Вг{-/оД/ДД - /со), д = = B3(-
icj)/Bl(-icj), соотношение (7.13) можно привести к обычной записи (1.49)
закона Гука, но с зависящими от частоты и комплексными Лид.
Часто предполагают, что вязкие силы в твердом теле, как в жидкости,
пропорциональны скоростям деформаций [167, § 34]. Это соответствует
А а Л А
следующему выбору операторов Bf Bt = 1, Вг = Л + ((" - 2т?/3) Э/Эt, В3
=
= т? Э/Э г. При таком выборе диссипативные части тензоров напряжений в
(7.1) и (7.13) полностью совпадают, а учет вязкости сводится к замене
постоянных Даме Лид на Л + /со(2rj/3 - ?) и д - /сот}. В случае
малой
диссипации (?} < д, ( Л) для волновых чисел продольной и
поперечных
волн получаем, как и в п. 1.3,
1/2 г /со / 4
(7.14)
Наличие диссипации не меняет обсуждавшихся в § 1 граничных условий на
поверхностях контакта упругих сред. Конечно, остается без изменений и
уравнение движения (1.50). Поэтому на слоистые вязкоупругие среды
полностью переносятся все полученные в § 1, 4 и 6 результаты, лишь
значения Лид повсюду следует считать комплексными. В частности, для
компонент матрицы рассеяния на границе двух вязко-упругих полупространств
можно пользоваться выражениями (4.28) - (4.32). Применимость результатов,
аналогичных полученным в § 4, для вязко-упругих сред неоднократно
подтверждалась экспериментально (см., например [298]). Хотя аналитические
выражения для плосковолновых коэффициентов отражения, трансформации и
прозрачности сохраняются, но благодаря комплексности Лид они существенно
меняют свое поведение, например, как функции угла падения. Подробный
анализ зависимости этих коэффициентов от угла падения и параметров вязко-
упругих сред можно найти в работе [248, гл. 1], в которой собран
значительный расчетный материал.
10. JI.M. Бреховских
145
На границах сред с диссипацией, как показывает анализ формул § 4, модуль
коэффициента отражения V может быть больше единицы. Реальность этого
явления до сих пор оспаривается некоторыми авторами, ошибочно видящими
здесь противоречие с законом сохранения энергии (о дискуссии такого рода
см., например, работу [287], где обоснована возможность того, что I V\ >
1 для звуковой волны, падающей из поглощающей жидкости на границу
идеально упругого твердого тела). В жидкости отражение звука с | V | > 1
не нарушает закон сохранения энергии благодаря неаддитивности потоков
энергии в отраженной и падающей волнах. Действительно, пользуясь формулой
(2.11), легко убедиться, что в звуковом поле с гармонической зависимостью
ехр [/ (?х - 6Д )] от горизонтальных координат и времени при вещественных
со и ? вертикальная компонента /2 вектора плотности потока мощности равна
разности значений /2 в падающей и отраженной волнах и, следовательно,
пропорциональна величине 1 - | V |2 только при вещественном к2, т.е. в
непоглощающей среде.
Рассмотрим, следуя [68], отражение плоской волны типа S V от плоской
свободной границы вязко-упругого тела. Будем считать, что значение X
вещественно, а д = д0(1 - /е), где д0 и е также вещественны, 0 < 1.
Коэффициент отражения Vtt дается формулами (4.7), (4.8). В отсутствие
поглощения (е = 0) при kt < ? < kt отраженная продольная волна
неоднородна, | Vtt | = 1. Обусловленная диссипацией поправка к значению
Vn в первом приближении по' е имеет вид
где для краткости обозначено: а = ?2/А;2, Ъ = к]/к]. В (7.15) коэффициент
при е должен вычисляться при е = 0. В силу неравенства с2 > 2с2 имеем Ъ <
0,5. Поскольку в рассматриваемой нами области углов падения ? < а < < 1,
то при а < 0,5 выражение в квадратных скобках и отношение 6 У№/У№
отрицательны. Если 0,5 < а < 1, то выражение в квадратных скобках
является монотонно возрастающей функцией ?, которая при ? = 0,5 принимает
значение (а - 1/2) (а - 2) < 0. Поэтому при 0,5 < а < 1 и любых физически
реализуемых значениях ? отношение bVttlVn > 0 и, следовательно,
I Vft + 6 Vtt I > 1. Например, при а = 0,9; ?=0,17; е = 0,05 расчет по
формуле (7.15) дает | Vtt + 6Vtt | = 1,34.
Покажем, что поток энергии, тем не манее, направлен к границе раздела.
Вертикальная компонента вектора средней за период плотности потока
мощности в гармонической волне равна [54, § 12] 1г = 0,5Re (а!,-Эм,-/Эг).
На свободной границе z = 0 имеем /2 = 0 в силу граничных условий а3/ = 0.
Выражая Iz при помощи формул (4.1) -(4.3) через компоненты матрицы
рассеяния (4.6), после простых выкладок при z > 0 получаем
о г tt icpо I ----------- I--------------: 7
V Зд /е = 0 16а (1 - а) (а - b) + (1 - 2а)4
X [(а - Ь) (2а - 3) + 2?2(2а - 1) (1 - а)],
X
(7.15)
Wz=-4weMoU2|0[e*-(rff + 6F")e-X] +iVtle~Mz\2 + 02 2
+ 2|2 I у[ех + (Fff + 5 Fff)e-X] +i|Ff,e-|o|z|2 +
