Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
где А и В - произвольные постоянные. Полагая В = О, получаем
р = >4(/coacthr? - l)exp(icoar?). (6.68)
При z -*¦ +°°, 17" 1 - z/ac0 и решение (б.бР) имеет асимптотику р
w^4iexp(- icoz/c0), Ах = A(icoa - l)exp(icoa),
соответствующую падающей со стороны z = + °° плоской волне в отсутствие
отраженной. Это послужило в работе [487] основанием для вывода о том, что
среда со стратификацией скорости звука (6.65) будет неотражающей. Однако
решение (6.68) не удовлетворяет условию ограниченности поля при z -*¦
| р | ~ | соаА/п \ -*¦ Неограниченной оказывается и скорость
частиц v = (-i/o)p)bp/bz. Имеющее физический смысл решение получится,
если потребовать и = 0 при rj = 0:
р = 2А fcos(coai7) - cootcthrj sin (со otr?)}. (6.69)
Выписывая асимптотику (6.69) при z -*¦ + °°, легко убедиться, что при
всех значениях со имеет место полное отражение. Физически этот результат
очевиден, так как при z -*¦ среда становится несжимаемой.
Пример слоистой среды, не отражающей звук любой частоты при определенном
значении угла падения в ~ 8Х, был построен в работе [94]. Пусть
полупространство z > 0, откуда падает плоская волна, однородно (с = сх, р
= рj), а стратификация плотности в нижней среде описывается какой-либо
кусочно-гладкой функцией p(z), z <0. Определим координату f, как в
(6.26). Функцию c(z) выберем так, чтобы в волновом уравнении
Ъ2р/д$2 + (cjpi/pcl)2[c}c~2(z) - sin20,]p = 0 (6.70)
коэффициент при р принимал постоянное значение при -00 < z < +°°:
c(z) = Ci [sin20j + (р//э,)2cos20,]~1/2. (6-71)
Тогда решением уравнения (6.70), удовлетворяющим условию излучения при z
-*¦ - обудет
р =>4exp[-/cocr1cos01f(z)]. (6.72)
Поскольку f = z при z > 0, в верхней среде (6.72) представляет собой
падающую со стороны z = +°° волну; V = 0. Отраженное поле будет
отсутствовать и при падении под углом в t плоского звукового импульса с
произвольной зависимостью от времени. В частном случае вх = 0 из (6.71)
получаем p(z)c(z) = р, С], т.е. при нормальном падении волны неотражающей
будет любая слоистая среда с постоянным значением волнового
сопротивления.
Полученный результат допускает наглядную интерпретацию в случае
дискретно-слоистой среды. Рассмотрим границу раздела каких-либб
однородных слоев. Параметрам верхнего слоя припишем индекс 2, а
параметрам нижнего - индекс 3. Угол падения волны в2 определяется из
закона Снел-ля: sin02 = (cj/ci )sin0 j. Записывая (6.71) отдельно для
обоих слоев, после
141
простых выкладок приходим к равенству (ср. (2.33)) tg'02 =(РзР22
~С2Сз2)1(с\сз2 - 1).
Следовательно, на каждой границе раздела угол падения равен углу ее
полной прозрачности, определенному в п. 2.2. Ни на одной из границ
отражения не возникает. Отсутствие отраженного поля не связано с
интерференцией волн и поэтому имеет место для всех частот.
§ 7. Звуковые волны в поглощающих и анизотропных средах
До сих пор мы пренебрегали диссипацией энергии упругих волн. В
действительности всегда имеют место необратимые процессы, приводящие к
поглощению энергии волн и переходу ее во внутреннюю энергию среды. Учет
обусловленных этим эффектов составляет первую задачу настоящего
параграфа. Поглощение приводит не только к уменьшению амплитуды сигнала
по мере распространения, но и меняет его форму; оно может существенно
сказываться на коэффициентах отражения и прозрачности.
В предыдущих параграфах, рассматривая распространение волн в твердом
теле, мы считали его локально изотропным. Эффекты анизотропии, т.е.
различия свойств среды в разных направлениях, наиболее существенны в
кристаллоакустике, а также в сейсмике. Анизотропия горных пород
обусловлена, в первую очередь, действием силы тяжести. Не имея
возможности остановиться в деталях на акустике анизотропного твердого
тела, мы лишь опишем ее основы и на примере пьезоэффекта проиллюстрируем
те качественно новые по сравнению с изотропной средой явления, которые
могут сказываться на распространении упругих волн в кристаллах.
Относительно подробно будет рассмотрен только случай трансверсально-изо-
тропной среды (см. п. 7.2). Он важен для анализа упругих свойств
мелкослоистых сред. Так называют среды, состоящие из большого числа
одинаковых относительно тонких слоев. Системы такого рода встречаются в
сейсмике, в устройствах звукоизоляции. К ним относятся многие
композиционные материалы, получающие все более широкое распространение в
технике.
7.1. Учет поглощения волн. При выводе волнового уравнения в § 1 мы
считали распространение звука в жидкости адиабатическим процессом.
Наличие вязкости и теплопроводности приводит к необратимому переходу
звуковой энергии во внутреннюю, нарушая тем самым адиабатичность. В
смесях и растворах дополнительным источником необратимости является
диффузия. Ее роль в поглощении звука обычно мала, и мы не будем принимать
диффузию во внимание. Будем считать также, что в отсутствие звука среда
неподвижна.
При учете сил вязкости уравнение Эйлера (1.9) записывается в виде
