Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
Индексы /, k, I принимают значения 1, 2, 3. Величины г? и f положительны.
142
[171, § 15 J до/
d°ik Ъхк '
(7.1)
Их называют коэффициентами вязкости или, соответственно, первой
(сдвиговой) и второй (объемной) вязкостью. Они могут зависеть от частоты
звука. Тогда уравнение (7.1) имеет смысл только для монохроматических
волн. В принятом нами линейном по амплитуде волны приближении
плотность энтропии жидкости S = S + S0 удовлетворяет уравнению [171, §
49]
pT0(dS/dt + vVS0)= diy(" V Т). (7.2)
Здесь Т = Т0 + Т - температура среды, 50 и Т0 - значения S и Т
в отсутствие волны, к > 0 - коэффициент теплопроводности. В
качестве независи-
мых термодинамических величин, как и в п. 1.1, возьмем энтропию и
плотность. Тогда в силу уравнения состояния
p = (dp/dp)~p' + (dpldS)~S, (7.3)
T=(dfldp)~p' + (dfldS)~S. (7.4)
Если в (7.2) положить к = 0, то уравнение (7.3) сведется к приведенному в
§ 1 уравнению состояния в форме (1.8), где в рассматриваемом сейчас
случае V р0 = v0 = 0. Уравнения (7.1)-(7.4) вместе с уравнением
непрерывности (1.7) образуют замкнутую линейную систему для определения
семи неизвестных: р, vh р',ТнБ.
В однородной среде полученная система уравнений допускает решения в виде
плоских волн. Пусть зависимость акустических величин от координат и
времени задается множителем exp[i(kjXj - ccf)]. Тогда, предполагая р 0 и
исключая из уравнений (7.1) и (1.7) vh находим
Г 1 +ik2( Г+ -т? )- I. (7.5)
Р LO
7 =7~
С другой стороны, если выразить р через р'при помощи (7.2) -(7.4), то
после простых преобразований получим
L = С2 _ к2(с2 _ са к2 _ Ц_\ 1 • (7-6)
Р V X с2 /
При выводе мы воспользовались тождеством (Э7'/Эр)~(Э5/ЭТ)~ =
= -(Э S /др) ~ = 1 -сгг/с2 и обозначили
Х = к/рСр, Cp = T0(bSldT)~,
______________________ ___ (7-7)
с=\/(Эр/Эр)~, ст = \J(dp/dp)~.
Здесь х - температуропроводность, Ср - удельная теплоемкость при
постоянном давлении, с и ст, как будет видно из дальнейшего, - скорости
звука в предельных случаях, когда его распространение является
адиабатическим или изотермическим процессом (с и ст - величины одного
порядка, причем с >ст).
Приравнивая правые части (7.5) и (7.6), получаем дисперсионное уравнение
связанных со сжатием волн в однородной вязкой теплопроводящей
143
среде:
А:4
- к2
-Ш-г) 1-
О)2 / 4 \
-+ т7?)
РХС2\ 3 /
/со
/со
ХС2
= 0.
(7.8)
'Г /'ЛЛ' \ -> / х
Не составляет труда выписать решения ±kj, ±кц этого биквадратного
уравнения. Они соответствуют двум типам волн. Вещественная часть к
определяет значение фазовой скорости срь = co/Re к, а мнимая -
коэффициент затухания волны. В направлении быстрейшего ослабления
амплитуда волны затухает в е раз на расстоянии 1/Imfc.
Рассмотрим некоторые частные случаи. Если теплопроводность отсутст-вует
(х~* 0), уравнение (7.8) дает единственное конечное решение
со Г /со / 4 \ "Г1/2
*,= - 1- - ( Г+ ТЧ • (7.9)
В наиболее распространенном и важном случае, когда вязкость и
теплопроводность отличны от нуля, но малы (х < с2/со, ? + 4т?/3 < рс2
/со), имеем
*1 =
со
[
1 +
/со
/ / со
\ хсг
)
2 рс2
1/2 JL
(} + з ч) +
<тТ-
(7.Ю)
Если теплопроводность велика, а вязкость мала (х > с2/со, ? + 4т?/3 <
рс2/со), то получаем
-
со
сг
1 +
(т)"
/со
2рс j сг
(г* уч)
. 2 1Ст
2сох
(1 -с2 с"2)
(7.11)
Во всех перечисленных случаях учет необратимых процессов дает малую
положительно-мнимую добавку к волновому числу fcj звуковой волны. Другим
эффектом необратимости является дисперсия - зависимость фазовой скорости
звука от частоты. Так, если величины х> ? и J? не зависят от частоты, то
с ростом со скорость звука, согласно (7.10) и (7.11), убывает от с до Cj.
(К тому же эффекту приводит и увеличение теплопроводности при
фиксированном значении со.) Поскольку каждая монохроматическая компонента
импульсного сигнала распространяется со своей скоростью, его форма будет
изменяться при распространении.
Наряду со звуковыми волнами в среде возможны ''тепловые" волны с волновым
числом ?ц. Кроме того, существуют ''вязкие" волны, которые не связаны со
сжатием среды: р = 0. В них согласно уравнению непрерывности (7.1) kjVi =
0, т.е. это поперечные волны. Они могут иметь две независимые
поляризации. Из р' = 0 и уравнений (7.3) - (7.5) следует: р ='S = ~ Т= 0.
Из (7.1) получаем дисперсионное уравнение ''вязких" волн:
к2 =i сор/р. (7.12)
144
В ''вязких" и ''тепловых" (последние называют также температурными
волнами [128, § 19]) волнах ReAr"s imA, поэтому они сильно неоднородны.
В твердых телах имеются дополнительные источники необратимости при
деформации: пластичность, дрейф вакансий в кристаллах, взаимодействие с
тепловыми фононами и т.д. Общей теории поглощения звука в упругих средах,
пригодной для всего их разнообразия (от горных пород до металлов и
пластмасс), не существует. Диссипативные процессы обычно описывают
феноменологически, заменяя в законе Гука упругие постоянные операторами,
зависящими от времени. Для изотропного вязко-упругого тела наиболее общая
