Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
результаты для дискретно-слоистых сред. Так, при отражении плоской волны
от границы однородных жидкостей звуковое поле (2.17), (2.18) имеет разрыв
производной bpjbz на границе раздела, но при всехг давление р, а также
коэффициенты отражения и прозрачности (2.27), (2.31), - аналитические
функции переменной ? = fcsinfl = fcjsinfli. Доказательство аналитичности
в общем случае мы дадим ниже, в § 10.
На комплексной плоскости ? функции р(?, z), F(?) и 1Г(?) могут иметь
изолированные особые точки: полюсы и точки ветвления. В § 4 мы видели,
что полюсы коэффициента отражения связаны с поверхностными и вытекающими
волнами. Закон сохранения акустической энергии ограничивает область
возможного расйоложения полюсов на комплексной плоскости ?. Они возможны
только при таких значениях ? = ?р, что вертикальные компоненты волновых
векторов прошедшей на z = - 00 и отраженной волн имеют соответственно
отрицательную и положительную мнимые части, и эти волны затухают при | z
| -+°°, В противном случае отраженная и прошедшая волны уносили бы от
границы бесконечный поток энергии при конечном притоке ее в падающей
волне.
Покажем, что в непоглощающей среде, где к = w/c(z) и значения p(z)
вещественны, все полюсы V и W лежат на вещественной оси ?. Пусть при z >
0 среда однородна. На границу z = 0 слоистого полупространства падает
плоская волна exp [/(?х - Viz)] единичной амплитуды. Обозначим /(?,(")
решение волнового уравнения
(6.26)
132
при z -*• - °° переходящее в убегающую от границы раздела плоскую волну
единичной амплитуды:
lim [/(?, f)expOV2z)] = 1. (6.27)
2 -* -оо
Тогда в нижнем полупространстве р = lV/(?, J) exp (/{¦*). При z >0, где J
= z, имеем для давления
р = [ехр(- /V) {)+V expOVj f)] ехр(фс). (6.28)
Для краткости мы обозначили
. ?/")=(*? -?2)1/2> /=1,2. (6.29)
Коэффициенты отражения V и прозрачности IV определяются из граничных
условий при f = 0:
Wft, 0) = 1 + V, Wf'($, 0) = - *", (1 - V) (6.30)
(штрихом обозначена производная по f). Из (6.30) находим
W'(t)"2[/(t,0) + (r'(t.0)/Pi]-1, 1/Ш=/а0)И/(?)-1. (6.31)
Тогда ? = является полюсом коэффициента прозрачности, если
С"р) = /(fp, 0) + 0)/р, = 0. (6.32)
Величина \р одновременно будет и полюсом коэффициента отражения,
поскольку /(?р> 0) Ф 0. (Если предположить, что /(?р, 0) =0,то из (6.32)
получим/'(1р 1.0) = 0. Тогда/(?р, f) = 0, а это противоречит (6.27).)
Функция /*, комплексно-сопряженная с/(?р, f ), удовлетворяет уравнению
d7*W2 + (р1/р№-(?)*)/*= о.
Домножая это уравнение на - /, складывая его с домноженным на/'уравнением
(6.26), в котором р выражено через /(?р, f), и интегрируя по J, получаем
тождество
(Г/'-/'*/)1+Л = (?p-(Vp?U I/12(Pi/pM. (6.33)
оо
Из (6.28) и (6.31) следует,что К(?р) = °° и
/(tp, Г) = №Р, 0) ехр (iVt Г), Г > 0. (6.34)
Поскольку ?р - полюс, то, как показано выше, Im р12 (?р) > 0. Тогда,
согласно (6.27) и (6.34), lim (/*/*-/**/) = 0 и по формуле (6.33)
I ? I "
tp = (1р)2- И3 положительности ltnvl 2 следует ?р > 1с\, ?р > Ясно, что
если точка ? = ?р - полюс, то и точка ? = - ?р является полюсом. Таким
образом, мы видим, что полюсы коэффициентов отражения и прозрачности
лежат на вещественной оси парами, симметричными относительно начала
координат, и Vj (?р) = /1 vt (?р) I, / = 1, 2.
Покажем далее, что в непоглащающей среде все полюсы коэффициентов V и W
простые, т.е. существуют конечные пределы
lim (? - tp) V и lim (? - ?р) IV. е-* tp
133
Найдем производную dQ/d%. Из (6.32) имеем
dGttpM = ?>(0) + frjV(0) + №3fX$p, о).
(6.35)
Функция ip (f) = Э/(?р, f)/9| удовлетворяет уравнению
dгФ$г + о", ip)2 (к2 2 %р(рх /Р)2тр, а
(0.36)
Обозначим /1 решение уравнения (6.26), имеюшее асимптотику Km [/i(?,
f)exp(-ii>2z)] = 1.
(6.37)
Z
Функции / и /j линейно независимы. Используя их, будем решать уравнение
(6.36) методом вариации постоянных. Пусть
Находя из (6.39) и (6.40) А' и А\, получим общее решение уравнения
При f -*¦ -во значение у вместе с / должно стремиться к нулю. Поэтому 2?i
=0. Подстановка (6.41) и (6.35) при учете (6.32) и (6.42) дает
Как было показано выше, i/pi (?р) - положительное число; в силу
вещественности условия (6.27) и коэффициентов уравнения (6.26) /(?р> f) -
вещественнозначная функция. Следовательно, квадратная скобка в (6.43)
положительна и dQ(^p)/d^ = 0 только при f = 0. Однако эта точка не может
быть полюсом: Re i>t (0) = Ф 0. Таким образом, все нули знаменателя в
выражениях для W и V простые, т.е. все полюсы коэффициентов отражения и
прозрачности простые.
Можно показать, что доказанные свойства полюсов: | ?р | > kt, все полюсы
простые и лежат на вещественной оси - сохраняются в случае, когда нижняя
среда ограничена поверхностью z = z, < 0 с вещественным импедансом Z, не
зависящим от ?. Эта поверхность, в частности, может быть абсолютно мягкой
или абсолютно жесткой.
В качестве примера рассмотрим полюсы коэффициента прозрачности слоя
Эпштейна (3.75): W = Г (1 - /3)Г (1 + а - у)/ [Г (а - /3 + 1)Г (1 - 7)].
Величины а, /3, у выражаются через параметры слоя и падающей волны с
