Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
Q. Учитывая это обстоятельство и наличие в повторяющихся элементов, легко
проверить выполнение матричного равенства
{A^)TM = M{A(i)y\ (6.13)
где
/ 0 0 0 1\
* 0 0-1 о
м= I о 1 о о I- (614)
\-1 о о о/
Пусть fx(z) и /2 (z) - два каких-либо вектора смещения-напряжения. Тогда
скалярная величина
F(z) = (fl(z))TMf2(z) (6.15)
остается постоянной внутри слоя. Действительно, в силу (6.13)
F(Zj) = (i<> >/, (z,_, ))TMA^f2 (zy_ x) =
= ( /1 (z/_, ))T(AU))TMAU >/2 (z,_,) = F(Zj_ 0. (6.16)
Поскольку функция F(z) вместе с векторами/i^ непрерывна на границах
слоев, то из (6.16) вытекает постоянство F во всей среде. Запишем это
свойство при помощи матричного пропагатора (см. (4.71а)):
(Ш)ГМШ = { f^)f(A{z, z))TMA(z, z)f2(z) = (6.17)
Векторы/1>2 (z) могут быть заданы произвольно. Следовательно, в любой
дискретно-слоистой среде имеет место тождество
л_ л л л
АТМА =М, (6.18)
обобщающее равенство (6.13).
Инвариант F удобно выразить через потенциалы упругих волн. Из (4,66) и
(6.15) получаем
F= (nizyfNbiz), где N(z) = (L(z))TML(z), (6.19)
А
матрица L определена в (4.67). Прямое вычисление дает
' 0 а 0 0'
-а 0 0 0
0 0 0 НЗ
. 0 0 0 0/
130
Для продольной волны единичной амплитуды, падающей из верхнего
^полупространства, вектор потенциалов имеет вид (см. рис. 62)
Аналогично, при падении поперечной волны из верхней среды и продольной и
поперечной волн из нижней среды имеем
при z <z 1-
Вычисляя по формулам (6.19) -(6.21) значения инварианта F для разных пар
векторов <fij (/ =1, 2, 3, 4) при z=z"hz=Z|H приравнивая их, находим
соотношения симметрии для коэффициентов отражения, прозрачности и
трансформации волн:
Соотношения симметрии (6.18), (6.22)-(6.25) были получены нами для
дискретно-слоистой упругой среды. Они справедливы, однако, при
произвольной зависимости параметров от z в слое Zj <z <z", поскольку
непрерывные изменения параметров можно рассматривать как предел
дискретных изменений при стремлении толщин однородных слоев к нулю. При
выводе соотношений (6.18), (6.22) -(6.25) мы нигде не предполагали
вещественности р и волновых чисел продольных и поперечных волн. Поэтому
соотношения симметрии справедливы и в поглощающей среде.
В частном случае отражения от границы раздела однородных полупространств
матрица рассеяния была найдена в п. 4.2 явно. Формулы (6.22) показывают,
что связь (4.30) коэффициентов трансформации Vti и Vlt является
универсальной. Используя (4.31) и (4.32), после громоздких преобразований
можно убедиться в выполнении соотношений (6.23) -
(6.25) в рассматриваемом случае. Формула (6.23) аналогична
соотношению (6.6), полученному для звуковых волн в жидкости. Формулы
(6.23) и (6.6) (в отсутствие течения) легко привести к одинаковому виду,
если учесть, что в (6.6) фигурирует коэффициент прозрачности по давлению
р, а в (6.22) - по потенциалу причем р и у связаны уравнением (4.37).
6.2. Аналитические свойства коэффициентов отражения и прозрачности. При
исследовании под я точечного источника в слоистой среде методом
разложения по'плоским волнам, который мы будем широко использовать
(6.21а)
4>г ={Vtu 0, Vtt, if, ={Wiu 0, W,t, Of, 0, W", Of
(6.216)
приг > z
Л ?. 4 п ,
*2 =(0, Wth 0, Wtt)T, ?>з=(1, К", 0, Vttf, *4=(0, Vtu 1, Vtt)T
ап Vti + Рп Vit 0, ai Vti + Pi Vft о"
aiPiWu = a" p"Wa,
PiP\Wtt = 0npn Wtt, PiPi Wlt = - <*nPnWti, aiPiWtl = -0"p"Wlt.
(6.22)
(6.23)
(6.24)
(6.25)
9*
131
в гл. 3 и 4, важно знать свойства решений одномерных волновых уравнений,
а также коэффициентов отражения и прозрачности как функций угла падения
или горизонтальной компоненты волнового вектора. Для одномерного
уравнения Гельмгольца эти свойства подробно рассмотрены в математической
литературе (см. [122, 177, 253]). В более общем случае распространения
звуковых волн в неподвижной жидкости со стратификацией скорости звука с и
плотности р ряд универсальных свойств коэффициентов отражения и
прозрачности был установлен Бреховских [44].
Пусть c(z) и p(z) - дифференцируемые функции, стремящиеся к значениям сг,
с2 и pi, р2 соответственно при z^ + mhz причем р Ф О
при всех z. Тогда, как показано в работе [44], звуковое давление р (?, z)
в слоистой среде, возникающее при падении плоской волны, является
аналитической функцией ?. (О свойствах аналитических функций см. [116,
232] или любой другой курс теории функций комплексного переменного.)
Коэффициенты отражения V(?) и прозрачности ИД?) плоской волны, падающей
из однородной среды на слоистое полупространство, являются аналитическими
функциями ? и не имеют существенно особых точек в конечной части
комплексной плоскости ?. Рассматривая скачки с и ркак пределы быстрых
изменений гладких функций, сформулированные результаты можно перенести на
среды с кусочно-гладкими зависимостями плотности и скорости звука от
координаты z. В этом случае давление р как функция z в ряде точек не
имеет даже первых производных, но остается аналитической функцией ?.
Наглядную иллюстрацию этих свойств звукового поля дают полученные в § 2
