Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
помощью соотношений (3.56а). Гамма-функция Г (у) не обращается в нуль
(6.38)
(6.39)
(6.40)
(6.36):
V-Bf+BtA + 2?р PiW_I (//p-V/idf-/, f p-2f2dn,
0 00
(6.41)
где В и Вх - постоянные, aw- вронскиан решений / и /,: w=f'fi ~ff 1 =
const.
(6.42)
о
dQ$p№ = - О))'1 [ J (p,//pM + i(2v, Г72(?р, 0)].
(6.43)
134
и имеет полюсы в точках у - - I (где / = 0,1,2,... ), все ее полюсы.прос-
тые (см. [240, гл. 6]). Для определения полюсов W имеем уравнения 1- /3 =
- /, 1 + а - у = - /, или при учете (3.56а) :
1 - (1 - 16М*?0Ь-2)Ч2 - /Г1 [(*g - ?2)^2 +(к20 - ?2 - fiN)1/2] =-2/,
(6.44a)
1 + (1 - 16Mkbb-2)112 - tfr1 [(fcg - ?2),/2 + (*o - ? - *&V)1/2J - - 21.
(6.446)
Как обычно, подразумевается неотрицательность мнимых частей всех
квадратных корней. Величина Мк^Ь~2 вещественна. Поэтому действительная
часть выражения, стоящего в (6.446) слева от знака равенства, не меньше
единицы, и это уравнение не имеет решений. Рассматривая вещественную и
мнимую части выражения, стоящего слева от знака равенства в (6.44а),
легко убедиться, что решение существует только для вещественных значений
(1 - 16Мк1/Ь2)1/г = 2d2, (?2 - &о)1/2 и (?2 + fcoW-
- kl)1!2. Следовательно, в соответствии с теорией все полюсы ИД?) простые
и лежат на вещественной оси ?, причем ?2 > к\, %2 > к% (1 - N). Мы
увидим, что и точки ?2 =к\,%2 = к\ (1 - N) не являются полюсами.
Положение полюсов определяем, решая иррациональное уравнение (6.44а):
% = kio+-(.B-klN/Bf, B = b(d2-l- 0,5). (6.45)
4
Решения существуют при таких значениях /, что
2l<2d2-2k0\N\1>2lb-l. (6.46)
Если правая часть (6.46) отрицательна (например, при М = 0, N Ф 0), то W
не имеет полюсов вовсе. При определенных соотношениях параметров слоя
величина ?р в (6.45) может принимать значения ко и ко (1 - W). В первом
случае в (3.75) одновременно с функцией Г(1 - (3) в бесконечность
обращается и функция Г (1 - у) = Г (2b~x (j\2 - ко) ^ ), и коэффициент W
остается конечным. При ?2 Ф к\ знаменатель (3.75) ограничен. В (6.45)
величина %2Р = &о 0 - N) я отлична от ко при условии N = = - Ь2ко2 (/ -
0,5 - d2)2 < 0. В этом случае, поскольку полюсы Г-функции простые,
значение W стремится к бесконечности по закону W <*> (?2 -
- к% (1 - N))~1!2. Здесь мы сталкиваемся не с полюсом, а с другим типом
особенностей коэффициентов отражения и прозрачности - с точками
ветвления. Как мы увидим в гл. 3, точки ветвления связаны со
специфическим дифракционным вкладом в поле сосредоточенного источника - с
боковыми волнами.
В случае неограниченной слоистой жидкости имеется четыре точки ветвления:
? = ± к(± °°). Докажем это для коэффициента отражения от дискретно-
слоистой среды. Согласно (2.70), V зависит от ? через вертикальные
компоненты волнового вектора Vj = (kj - ?2)1/12 во всех слоях
(/ =2 п) и в двух полупространствах (/ = 1 и / = п + 1). Величина
Vj входит только в формулы для Zj = ojpjjvj и Sj = tg (Vjdj) (см. (-
2.65)). Поэтому зависимость V от Vj аналитическая и Г не может иметь
других точек ветвления, кроме точек ? = ± kj ветвления самих величин Vj.
В фор-
135
мулу пересчета импедансов (2.67) и, следовательно, во входной импеданс
точки ? = к/ коэффициент отражения можно разложить в ряд по четным
степеням Vj, т.е. целым степеням (kj - ?2), и ветвления не возникает.
Вертикальные компоненты и i>" + 1 волнового вектора в полупространствах
входят в (2.70) только посредством Z, и Z"+,. Поэтому в окрестностях
точек ? = ± fc, разложение в ряд происходит и по четным, и по нечетным
степеням (Л2 - ?2)^2. Следовательно, ? = ±.кх будут точками ветвления
функции К(?). Аналогично, точками ветвления будут и ? = ±fc" + i-
Например, френелевский коэффициент отражения (2.27) в используемых в этом
пункте обозначениях имеет вид
V={pM - fc2)'/2_p2(^ _ ?I),/2]Ipi(fc2_€a)l/2+p2(t2 _|2)1/аг1_
Положение точек ветвления иллюстрирует сделанные выше общие утверждения.
Углы падения плоской волны, соответствующие этим точкам ветвления, равны
я/2 и критическому углу полного отражения.
Если среда не бесконечна, а ограничена снизу плоскостью z = г} с
импедансом Z(?), не имеющим точек ветвления (в частности, поверхность г =
г 1 может быть абсолютно мягкой или абсолютно жесткой), то импеданс Z, не
входит в формулу для К(?), и остаются только точки ветвления ? = ±fcn+1.
В слоистой среде, заключенной между двумя импедансными границами,
отношение р(?, z)/p(?, z0) при z0 - const как функция ? вовсе не будет
иметь точек ветвления. При помощи предельного перехода можно перенести
доказанные результаты на среды с произвольными зависимостями c(z), p(z) в
слое между полупространствами.
Сходный анализ существования точек ветвления приведен в монографиях [260,
гл.5], [352, гл. 4]. Представляет интерес другое доказательство, где
параметры жидкости между полупространствами сразу предполагаются кусочно-
непрерывными. Будем исходить из формулы (6.5) для коэффициента
прозрачности и сохраним использованные в ней обозначения (для
коэффициента отражения доказательство аналогично). Поскольку среда
