Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бреховских Л.М. -> "Акустика слоистых сред" -> 66

Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.

Бреховских Л.М., Годин О.А. Акустика слоистых сред — М.: Наука, 1989. — 416 c.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка): akustikasloistihsred1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 195 >> Следующая

определить вектор v, который задает поляризацию волны, распространяющейся
в направлении п. Из симметрии и вещественности матрицы Г следует, что три
плоские волны с одинаковым п всегда поляризованы во взаимно
перпендикулярных направлениях.
Для описания волн в вязко-упругом теле удобно разложить их на
монохроматические составляющие. Тогда, аналогично рассмотренному в п.7.1
(7-18)
(Г/7 -рот1 к 26/7)v, = 0, Г/7 = Cijlkщпк.
(7.20)
det(f/7 - рот2к~2 б/7) = 0,
(7.21)
148
случаю изотропной вязко-упругой среды, наличие диссипации проявится
только в том, что компоненты тензора С,-дг будут комплексными и частотно-
зависимыми.
Общие вопросы теории упругости анизотропных сред рассмотрены в книгах
[167, 179] и др. Распространение волн в таких средах применительно к
кристаллоакустике и сейсмике освещено в монографиях [153, 215, 255]. О
рэлеевских волнах в кристаллах различной симметрии см. [344, 495].
Различие направлений фазовой и групповой скоростей упругой волны и его
следствия обсуждаются в [539]. О вычислении поля на луче в анизотропной
среде см. [322]. В работах [296, 512] определена зависимость фазовой
скорости от направления распространения волны в однородной среде со
слабой анизотропией. Распространение ультразвуковых пучков в кристалле
рассматривалось в [538]. Поверхностные волны в дискретнослоистом
анизотропном упругом полупространстве со свободной границей исследованы в
работах [340, 341].
Мы остановимся подробнее на одном специальном случае анизотропии -
трансверсально-изотропной'среде. В твердом теле этого типа упругие
свойства изотропны в плоскости, перпендикулярной некоторому выделенному
направлению, которое мы совместим с осью г. Такие анизотропные среды
представляют значительный интерес для сейсмологии.
При смене направления оси х компонента м1;-, f ф 1, тензора деформаций
меняет знак, но вследствие симметрии в горизонтальной плоскости состояние
среды не изменяется. То же относится и к перемене направления оси у.
Поэтому в выражении для упругой энергии (см. [54, § 12]) W = =
0,5C{jkiUijUki члены, содержащие индексы 1 или 2 нечетное число раз,
должны отсутствовать. Замена индекса 1 на индекс 2 не меняет значения
модуля упругости. Поэтому в тензоре остается шесть не равных нулю
различных компонент: С3333, С1313 = С2323, С113з = С22зз> С1111 = =
С2222, С1212, Ci 122- Не все они являются независимыми. Компоненты Ujj,
i, j = 1, 2, тензора деформаций должны входить в выражение для энергии
только в комбинациях мц + "22, "12 - MiiM22> инвариантных относительно
поворотов системы координат вокруг оси Ог. В результате для
трансверсально-изотропной среды имеем С1122 = Сцц - 2C]2i2 и плотность
упругой энергии равна
W = Ci 1 1 i(M! 1 + U22)2 + 4Ci2 12(M12 -м11и22) + СззззМзз +
+ 2Ci 133(иii + "22)^33 + 4Ci 313(и is + м|3). (7.22)
Нетрудно показать [167, § 10], что теми же свойствами тензор С;д;
обладает в кристаллах гексагональной симметрии, имеющих ось симметрии
шестого (а не бесконечного, как в трансверсально-изотропной среде)
порядка.
Используя установленные свойства тензора модулей упругости, запишем
обобщенный закон Гука (7.18) для трансверсально-изотропной среды:
Oil = Ci 111Н11 + (Ci 111 - 2Ci212)^22 + Cii3 3M33, (7.23)
СГ12 = 2C1212Ц12 > (7.24)
°i3 = 2C131 3Mi3,^ (7 25)
033 = C3333U33 + Ci 1 зз("11 + ^22). (7.26)
14?
Благодаря симметрии среды, выражения для других компонент оц легко
получить из приведенных выше. Для пяти упругих модулей, характеризующих
трансверсально-изотропную среду, удобно ввести сокращенные обозначения:
Сцц=Л+2д, С3333 = X' + 2д , Сцзз=Л,) Сцц =Ui С) 313 = = д . Переход к
изотропии (Сз 111 = C3333, Ci3i 3 = C1212" Ci 1 зз = i22) описывается
тогда равенствами Л = Х\ д = д' = дн. В этом случае формулы (7.23) -
(7.26), как легко убедиться, согласуются с законом Гука для изотропной
среды (1.49).
Распространение упругих волн в трансверсально-изотропной среде имеет
много общего со случаем изотропного твердого тела. По-прежнему можно
выделить волны горизонтальной поляризации, которые распространяются
независимо от волн Р - SV. Это следует из уравнений (7.20), где при п = =
(sin 0, 0, cos 0) имеем
/ (X + 2p)sin20 + д"со$20 0 (X1+fi") sin 0 cos 0 \
Г=( 0 д sin2в + д"ссв2в 0 I.
\ (X* + д") sin в cos в 0 p"sinJ в + (X' + 2д') cos2 в J
(7.27)
Здесь в - угол, axz - плоскость падения волны. Решение уравнений (7.20),
соответствующее 57/-волнам, имеет вид
к1 = дсо2(д sin20 + p"cos20)_1, v = (0,l,0). (7.28)
При изменении угла падения от 0 до тг/2 фазовая скорость волн SH
изменяется от (д"/д)1/2 до (д/д)1/2.
Обозначим A: sin 0 = ?, к cos в = а. Тогда для определения возможных
значений вертикальных компонент волновых векторов волн Р - SV из
(7.21) и (7.27) получаем квадратное уравнение относительно а2. Его
решение имеет вид
а?,2 = {-Ь Т [Ъ2 - 4ад"(Х' + 2д')]^2 } [2(Х' + 2д')д"Г', (7.29)
где
а ~ [?2(Х + 2д)-дш2](д"^2 -дщ2),
Ъ = I2 [(Л + 2д) (Л' + 2д') + (д")2 - (Л' + д")2 ] - рсо2(.\' + 2"'+ д").
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 195 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed