Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
+ I №x - (Vtt + 5К")е_х] + I а I2 Ff,e-|o|z |2} .
(7.16)
146
В фигурных скобках значения a,0,y, Vtt и Vtj взяты при е = 0. Мы видим,
что Э/z/9z < 0, следовательно, /2 < 0 во всем верхнем полупространстве,
что и требовалось показать. В работе [68] аналогичный анализ проведен в
более общем случае отражения волны SV от границы жидкости и вязко-
упругого тела.
Распространение монохроматического звука в поглощающей жидкости часто
описывают на основе волнового уравнения (1.23), заменяя в нем к2
комплексной величиной. Для однородной среды такой подход является точным.
Однако в общем случае это не так. Например, на границах раздела решения
уравнения (1.23), имеющего второй порядок, можно подчинить лишь двум
граничным условиям, а в случае вязкой теплопроводящей жидкости
независимых граничных условий будет восемь: как и в твердом теле, должны
быть непрерывны три компоненты тензора напряжений, скорости частиц, а
также температура и нормальная к границе компонента кдТ/дп плотности
потока тепла. (В противном случае согласно уравнениям (7.2) и (7.3) на
границе обращалась бы в бесконечность плотность энтропии, а вместе с ней
и давление.) В случае, когда теплопроводностью можно пренебречь (к -> 0)
для тензора напряжений в вязкой жидкости из (7.1)- (7.3) и (1.7) получаем
что совпадает с законом Гука (1-49) при Л = дс2 + ioj(2j?/3- f), д = -
ion). Таким образом, вязкую жидкость можно рассматривать как упругую
среду с комплексным значением X и чисто мнимым д. Аналогом продольных'
волн в твердом теле являются звуковые, а сдвиговых - вязкие волны.
В вязких жидкостях при отражении от границ звук частично трансформируется
в быстрозатухающие вязкие волны. Этот процесс описывается матрицами
рассеяния, исследованными в § 4. Поглощение звука в слоистой среде
обусловлено, таким образом, двумя процессами.
Во-первых, это объемное поглощение, имеющее место и в однородной среде.
Оно уменьшает амплитуду волны пропорционально величине exp (-L 1ш к), где
L - пройденный в вязкой жидкости путь. Показатель экспоненты содержит (в
случае малой вязкости) j? и f в первой степени. Такое поглощение наиболее
существенно в плавно-слоистой среде.
Во-вторых, вблизи границ происходит дополнительная диссипация энергии,
которую называют иногда ''поглощением Константинова"*). Наиболее ярко
этот эффект проявляется при распространении звука в узких трубах и тонких
слоях. Матрица рассеяния содержит первые степени вертикальной компоненты
волнового вектора, поэтому ''поглощение Константинова" пропорционально,
вообще говоря, величине | к2 - ?2|-1/2
Поскольку вязкость, как правило, мала, второй механизм
*) Более справедливо было бы связывать это поглощение с именем Кирхгофа,
который рассмативал близкие вопросы значительно раньше.
°ik ~
^ рс2 - icof
(7.17)
10*
147
диссипации может доминировать даже в слоях, достаточно толстых по
сравнению с длиной звуковой волны. Этот механизм остается неучтенным при
использовании волнового уравнения с комплексным значением к2. К
аналогичным эффектам приводит и наличие теплопроводности: отражаясь от
границ, звуковая волна порождает быстрозатухающие ''тепловые" волны,
уносящие часть акустической энергии. Подробнее о ''поглощении
Константинова" см. обзор [173] и указанную в нем литературу.
7.2. Анизотропные упругие среды. Волны Гуляева - Блюштейна. При малых
деформациях тензоры напряжений а{/- и деформаций "к/ связаны линейно:
Тензор четвертого ранга Сцк1 является характеристикой вещества и
называется тензором модулей упругости. Соотношение (7.18) обобщает закон
Гука (1.49) на произвольные анизотропные среды. В силу симметрии тензоров
оij и ик1 тензор Сцк1 можно считать инвариантным относительно
перестановок индексов в первой и вторых парах: Qjki = C/ikl = Qjik = =
C/ilk. Имеет место также симметрия относительно перестановки самих пар
[54, § 12]: С{/кг = Cknj. Таким образом, из всех З4 компонент тензора
модулей упругости в самом общем случае анизотропной среды независимых
модулей оказывается на более 21. Чем выше симметрия среды, тем меньшим
числом упругих модулей она описывается.
Уравнение движения упругой среды имеет вид (1.50). Для плоских
гармонических волн
и = v exp i{knjXj - ort), П/П/ =1 (7-19)
в однородной анизотропной среде из (7.18) и (1.50) получаем
При выводе (7.20) учтена симметрия тензора C;jki. Мы видим, что величина
рот2к~2 является собственным числом, а соответствующее значение v -
собственным вектором зависящей от направления распространения волны
матрицы Г. Условием существования ненулевых решений v системы уравнений
(7.20) является соотношение
называемое уравнением Кристоффеля. Оно определяет три допустимых значения
волнового числа к, а посредством этих значений - фазовую и групповую
скорости соответствующих волн. В анизотропной среде фазовая и групповая
скорости имеют, вообще говоря, различные направления и зависят от
ориентации волнового вектора кп.
По известному волновому числу из (7.20) можно с точностью до нормировки
