Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
механических величин. Тогда для электрических величин остается
единственное граничное условие:
(Э^/Эх)2=о = 0. (7.516)
154
Будем искать поверхностные волны с гармонической зависимостью
от х и t:
и = u(z)exp [i(?х - ojf)], <р = $(z)exp[i(& - wr)]. (7.52)
Тогда первое из уравнений (7.49) дает
v = А! ехр(\/?2 - k2z) + А2ехр(-\Д2 - k2z),
t2=pu2(C + ^/er*, z<0. (7.53)
Амплитуда поверхностной волны должна стремиться к нулю при удалении от
границы. Поэтому следует считать ? > к и А2 =0. Аналогично находим
электрический потенциал:
Вiexp(?z) + 0e 'А^хр^2 - k2z), z< 0,
Ф = (7.54)
fi2exp(-?z), z> 0.
Подставляя (7.52) -(7.54) в граничные условия, для случаев свободной и
закороченной поверхности пьезоэлектрика находим соответственно
Вг =-Ai/3/(e(e+l)),B2 = Ах 0/(е + 1), ? = ш/с,,
с! ~ С[1 -а2(е + 1)~2]/р(1 -а);
J9i = -/Зе-1 Л!, эВ2 = 0, ? = со/с2 гс| =С(1 + а)/р,
" = 0'е-'/<СЧ0-е"). (? ^
Здесь С) и с2 - скорости поверхностных волн. Эти поверхностные волны,
распространяющиеся без дисперсии, называют волнами Гуляева - Блю-штейна.
Как правило, скорости других поверхностных волн в пьезоэлектрике не
удается найти аналитически. В этом случае прибегают к численным расчетам
[435].
Если бы пьезоэлектрик не имел границы, скорость упругих волн можно было
найти из уравнения Кристоффеля. Полагая л2 = 0 и учитывая симметрию
кристалла, из (7.48) и (7.20) легко получить следующие соотношения:
Г ik = Г/л, если гФ2 и к Ф 2; Г,12:=Г'2з=0, Г22=С, Г22 = С + /32/е.
(7-56)
Мы видим, что пьезоэффект не сказывается иа волнах, поляризованных в
плоскости xz, если их волновой вектор лежит в той же плоскости. Эти
упругие волны не возбуждают электрическое поле. Волна с "1 = и3 = 0
распространяется в кристалле со скоростью с3 = р 1/2(С + 02/е)1/2 = =
[С/р( 1 - а)]1/2. При /3 -> 0 она переходит в обычную сдвиговую волну
горизонтальной поляризации, скорость которой с4 = (С/р)1/2.
Поскольку а > 0, то скорости поверхностных и объемных волн удовлетворяют
неравенству с4 < с3 < с2 < с2. Обычно а < 1. При этом все четыре значения
скорости близки: скорости Ci, с2 и с3 отличаются друг от друга на
величины порядка а2 и от с4 - на величину порядка а. Глубина
проникновения поверхностной волны в пьезоэлектрик ls =* co~'(cJ2 -
cj2)1/2 (где s = 1,2) велика по сравнению с длиной поверхностной волны.
Глубже проникает волна, удерживаемая закороченной поверхностью. В случае
свободной поверхности электрическое поле проникает и в верхнюю среду,
155
но затухает на расстояниях порядка длины волны. Существование
поверхностных волн Гуляева - Блюштейна целиком обусловлено пьезоэффектом.
При /3 -" О имеем ls -" и поверхностные волны переходят в объемные
сдвиговые волны.
Подробнее о физических эффектах, связанных с распространением упругих
волн в пьезоэлектриках, и их приложениях читатель может узнать из книг
[24,180,290,486].
7.3. Упругие свойства мелкослоистых сред. Рассмотрим распространение
упругих волн в среде, плотность и параметры Ламе которой являются
периодическими функциями z с периодом h, малым по сравнению с длиной
волны. Этим вопросом занимались многие авторы (см. [224, 274, 295, 299] и
другие). Весьма полный анализ случая, когда среда состоит из чередующихся
однородных слоев двух видов, был проведен Рытовым [227]. По-видимому,
наиболее общим и последовательным подходом к задаче является матричный
метод, примененный Молотковым [198]. Наше изложение будет в основном
следовать его работе.
В дальнейшем нам потребуется выражение для матрицы неоднородного слоя
упругой среды. Разобьем неоднородный слой толщиной h на п > 1 слоев,
каждый из которых приближенно можно считать однородным. Представляя
матрицу каждого однородного слоя (7.41) в виде разложения по степеням к,
для матрицы неоднородного слоя получим
А = П [ Е + h.Kj + - + ... ] =
/=" ' ' 2! 1 '
= Е + I, к/hj+ - ? KjKthjht + ..., (7-57)
/'= i 2 /, /=i
где hj - толщина /-го слоя, / > /. Переходя к пределу и имеем
ЛА*. Й 2*
А=Е + fic(z)dz+ fn(z1)dz1f K(z2)dz2 +
ООО
+ /k(Zi)c?z,/ K(z2)dz2f K(z3)dz3'+ ... (7.58)
ООО
Поскольку элементы матрицы k(z) ограничены, ряд (7.58)
сходится.
Действительно, пусть | Kik \ <8 при всех z, i и к. Тогда
любой элемент
произведения N матриц к не превышает mN~18N, где т = 2 или 4 - раз-
Л n А
мерность матрицы к. Следовательно, для любого элемента матрицы А ряд
(7.58) мажорируется разложением экспоненты exp(m8h).
Система из п одинаковых слоев (периодов) общей толщиной Н = nh
А Л
характеризуется матрицей А0 =Ап. Представим ее в виде
А0 =An=(E + n-'HB)n, В = В0 +П-1НВ1 + п~гНгВ2 + ...,
!Л
В0= fn(hu)du, (7.59)
О
л *
В\ = fK(hu1)du0f K(hu2)du2, о о
156
л 1 "l "j
В2 = fKQiu^duJ i(hu2)du2f K(hu3)du3,... ooo
Будем предполагать, что матрица k(z) является функцией безразмерной
величины z/h. Это условие выполняется, например, когда период состоит из
набора однородных слоев и при изменении значения А толщины этих слоев
изменяются пропорционально й, а остальные параметры от й не за-
