Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
_>'00, запишем (8.37) в интегральном виде:
1 i Э(1п iV)
X,(f) = - / ------------- Х2(fi)ехР( -2z*0 / M/f2)<*fi,
2 - °° a f 0
(8.38)
1 i a (in tv)
x2(?) = - / --- Xi(?i) exp (21*0 / Nd$2)dU-
2 +°° af 0
Как мы видели выше, приближение геометрической акустики дает тем лучший
результат, чем медленнее изменяется iV(f). Поэтому множитель 3(lnjV)/af в
правых частях (8.38) можно считать малым и решать систему методом
последовательных приближений. В нулевом приближении, полагая правые части
равными нулю, получаем
х<0) = Cv х(20) = С2, Cl2 = const, (8.39)
т.е. геометро-акустический результат. В формуле (8.36а) член, содержа-
171
щий х2(0), будет описывать волну, распространяющуюся в сторону
отрицательных значений ? ("прямая" волна), а член, содержащий xj°* -
волну, распространяющуюся в сторону положительных f (''обратная" волна).
Заметим, что приближение (8.36), (8.39) отличается от (8.11), поскольку в
первом случае / равно ЭФ/Э? только приближенно. Рассматриваемые
приближения становятся эквивалентными при выполнении условия (8.20). Для
удобства дальнейших выкладок запишем уравнения (8.38) в виде
Х,(Г) = е / Х,(Г,)Х2(Г|)"1, Х2(0 = */ Х2(Га)X,(fi. (8.40)
ОО + 00
где е - (k0L )-1 - малый параметр, | Xj>2 | ^ 1. Последовательные
итера-
ции приводят к решениям в виде рядов по степеням е:
Х,(Г) = 2 е,х},)(0. / = 1.2, (8.41)
' 1=0 ' причем
х(/)(0= / х.(Г.) Х(2°(П= /
- ОО 4* °°
(8.42)
При / = 1 выражения (8.42) свидетельствуют о том, что обратная волна
нулевого приближения дает в каждой точке пространства начало прямой
волне первого порядка х2* \ и наоборот. Другими словами, волна нулевого
приближения, испытывая вследствие неоднородности среды отражения на любом
горизонте, дает распространяющуюся в обратном направлении волну первого
приближения.
Рис. 8.2. Генерация вторичных волн первичными
При некотором заданном значении f вторичная прямая волна х2*^ получается
в результате отражения первичной обратной волны х|°1 при всех из
интервала (f, + °°). Наоборот, обратная вторичная волна х{*1
получается в результате отражения волны х2°* на всех уровнях, для которых
- оо < f, < f. Схематически это изображено на рис. 8.2. Эти соображения
относятся к генерации волн любого порядка /.
Последовательно применяя равенства (8.42), получаем явные выражения для
х{'> в виде /-кратных интегралов. Выпишем эти выражения для
172
Х,(,) (где /=1,2,...):
f ?I fj
х<2,) = с, ; "я.х.ао ; </г2х2(Г2) / </ГзХ,(Гз)-.-
/ -оо 4-оо - о(c)
?2/~1 + "
f Г, ' Г,
Х(,2,_1) = С2 f dUMU) f dfaXaffa) / ^ГзМГз) • • -
^ OO +00 - 00
(8.43)
?2/-2
/ ^?2/-lXl(f2l-l)--2 00
Физически x<° и x^ нужно трактовать как волны, получающиеся в результате
/-кратных отражений в неоднородной среде на уровнях f i > ?2"• • •"5V
Рис. 8.3. Последовательная генерация волн различных порядков в
неоднородной среде
(см. (8.43)). Для получения полных выражений производится интегрирование
по всем возможным уровням отражений. Последовательная генерация волн
различных порядков схематически изображена на рис. 8.3.
Сходимость получающихся рядов (8.41) и (8.43) при достаточно больших
значениях частоты со е'1 доказывается в книге [265, гл. 3]. Необходимое и
достаточное условие абсолютной сходимости рядов получено в [288]. При
падении на среду плоского 6-образного импульса (а не гармонической волны,
как предполагалось выше) достаточным условием абсолютной сходимости рядов
рассматриваемого вида, т.е. рядов по кратности отражения, является
существование и ограниченность производной bN/b$ [377]. В рассматриваемом
нами случае движущейся жидкости со стратификацией скорости звука и
плотности это условие будет выполняться, если только ограничены
производные e'(z), p'(z), Vq(z). Лучшую сходимость рядов в случае падения
кЪроткого импульса можно объяснить тем, что в каждый конечный момент
времени в формирование отраженного поля вносит вклад только ограниченная
часть неоднородной среды. Применимость лучевого рассмотрения отражения 6-
импульса для произвольной среды с гладкой зависимостью параметров от z
следует также и из того, что характерное значение со для такого импульса
равно бесконечности: в любом конечном интервале частот заключена
бесконечно малая доля его энергии.
Отметим также, что еще один способ приближенной трактовки отражения волн
от слоистых сред, когда в первом приближении получается
173
геометрическая акустика, изложен в работе [294]; о другом варианте метода
ВКБ, отличающемся от изложенных выше вторым и старшими приближениями, см.
работу [367].
Существуют многочисленные попытки модификаций метода ВКБ с целью
расширения границ его применимости, в частности, в области точки
поворота. В них или используются специальные функции вместо элемен-
тарны'х [291, 293, 134, 135, 123-125] или с самого начала авторы
отказываются от сохранения точной асимптотики решений [388, 366, 358,
359, 555, 186, 300]. Во многих случаях физическая интерпретация этих
решений является весьма затруднительной. Наиболее перспективным методом
