Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
падающего импульса. Учитывая формулы (5.1), (5.5) и (5.8), получаем
Pi(x, г, t) = Ат{т2 + [(с sin 0 - z cos 0)/с - ?]2>-1, (5.24)
pr(x, z, f) = AVt{t2 + [(х sin 0 + z cos 0)/с - Г]2 } _ 1, (5.25)
pt(x, z, t) = AWt{t2 + [(х sin 0! - z cosв1)/с1 - Г]2)"1, (5.26)
где V и W - вещественные коэффициенты отражения и прозрачности.
В случае полного отражения V и W являются комплексными величинами.
Выделим в них, используя формулы (2.22) и (2.27), вещественную и мнимую
части (при и> > 0):
V = В +iC, W = (В + 1) +iC, В = (m2cos20 - s2)/(m2cos20 +s2),
С = - 2sm cos0/(m2cos20 +s2), s = (sin20 - n1)1I2 > 0. (5.27)
Тогда отраженный импульс при учете (5.14) и (5.23) запишется в виде
pr(f,) = 0,5АВ / e-Tlw| + fu,?'Jcj-^c/>e_TU,sincjf1Jcj. (5.28)
ОО О
Оба интеграла в последнем соотношении берутся без труда, и мы получаем,
подставляя значение Ci из (5.5),
АВт
^г т2 + [(х sin 0 + z cos 0)/с - Г]2
ACUx sin 0 + z cos в)/с - г]
^. (5.29)
т + [(х sin 0 + z cos в)/с - iy
Таким образом, отраженный импульс состоит из двух частей, одна из которых
передает форму падающего импульса. В частности для 5-образного импульса
при т -> 0 имеем
рг = тгАВЬ ((х sin 0 +z cosв)/с - 0 - j4C[(xsin 0 +z cos 0)/c - I]-1.
(5.30)
II"
Рассмотрим звуковую волну, прошедшую в нижнюю среду. В соотношении (5.8)
для преломленного импульса при со> 0 имеем
f2 = (* sin в! )/cj - t - isz/c. (5.31)
При отрицательных частотах для f2 нужно брать комплексно-сопряженное
выражение. Подставляя (5.27) и (5.31) в (5.8), получаем
Pt = 1-а{\ +в) ; е-|ы|<т-"/с>+,'ы*жо -
- AC J е~ш(т " sin ug dcj, о
g = t~ (xsin0tyci.
После простых преобразований находим из (5.32)
pt = А [(1 +В) (т - zs/c) + С(х sin 0 i/cj - f)] X
X[(r-sz/cf + (xsin0,/ci - О2]"1- (5-34)
В случае г = 0 (падающий 6-импульс), согласно (5.34), имеем
pt = А [С(х sin 01/с1 - t) - (sz/c) (1 +?)]Х
X[{st/c)2 + (х sin0!/сi - О2]-1 • (5.35)
Мы видим, что преломленный импульс не совпадает по форме с падающим. В
формулы (5.34) и (5.35) время t входит только в комбинации (х sin 01) /с!
- t. Следовательно, в нижней среде импульс распространяется вдоль границы
со скоростью сi /sin 0,, равной, согласно закону преломления, с/sin в -
скорости распространения следа импульса в верхней среде вдоль границы
раздела. Интересно отметить, что по разные стороны от прямой
т - sz/c + {f - xsin01/c1)(s/wcos0) = 0 (5.36)
акустическое давление в преломленном импульсе имеет разные знаки и
обращается в нуль на самой этой прямой.
На рис. 5.3 схематически изображена картина падающего, отраженного и
преломленного импульсов при t = 0. Падающий импульс предполагается 5-
образным. На этом рисунке АА - граница раздела сред, ОВ - фронт падающего
импульса, задаваемый уравнением х sin в - z cos 0=0, OD - фронт той части
отраженного импульса, которая соответствует первому члену в правой части
(5.30). Штриховка сплошными линиями с одной стороны от OD и пунктиром - с
другой стороны схематически отображает второй член в правой части (5.30).
Пунктирная штриховка соответствует отрицательному давлению, штриховка
сплошными линиями - положительному. Поле убывает при удалении от линии
OD, что соответствует уменьшению густоты линий. Поле преломленного
импульса везде, кроме начала координат О, имеет конечную величину. На
линии ОЕ, задаваемой формулой (5.36) при г = t = 0, поле обращается в
нуль. В нижней среде сплошными ( pt > 0) и штриховыми (pt < 0) кривыми
показаны линии уровня звукового давления. Их форма определена по формуле
(5.35). Стрелками отмечены направления распространения падающего,
отраженного и преломленного импульсов.
(5.32)
(5.33)
120
Рис. 5.3. Схематическое изображение картины отражения и преломления 6 -
образного импульса. Штриховыми и тонкими сплошными линиями изображены
кривые р = const
Отметим, что зависимость поля преломленной волны от координаты z при х =
Ci tlsin 0i, согласно (5.34), имеет вид pt = А (1 + В) (т - sz/с)-1. Та
же зависимость получается при любых фиксированных значениях х и t и при z
- оо. Таким образом, при удалении от границы поле спадает не по
экспоненциальному закону, как в случае гармонической волны, а значительно
медленнее - обратно пропорционально величине удаления. Это нетрудно было
предвидеть заранее. Глубина проникновения звукового поля при полном
отражении монохроматической волны обратно пропорциональна частоте.
Поэтому характер спадания поля импульса определяется поведением его
спектральной плотности Ф(оэ) на низких частотах. Представляя поле (5.8) в
нижней среде в виде
оо
pt = 2Re{W,J Ф(сэ) exp [оэ sz/с + /сэ(эс sin djci - ?)1 doi) о
и разлагая Ф по степеням оэ, легко убедиться, что амплитуда звукового
давления при z -*¦ - оо пропорциональна |z Г1, если Ф(0) Ф 0; если Ф(0) =
0, но ф(0) Ф 0, то | рх I ^ | z Г2 и т.д. Экспоненциальное спадание
амплитуды с ростом | z | имеет место для импульсов, у которых существует
нижняя граничная частота ы0 > 0 такая, что Ф(сэ) = 0 при
0 < OJ < OJg .
Если найдены прошедший pt и отраженный рг импульсы в случае, когда форма
