Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
относятся к случаю а = 0,34, штриховые - к случаю о = 0,25. Видно, что
вертикальное смещение при отходе от границы вначале увеличивается, затем
достигает максимума и плавно спадает до нуля. Горизонтальная компонента
смещения при отходе от границы сначала уменьшается, потом обращается в
нуль, меняет знак, достигает минимума, а затем асимптотически
приближается к нулю. Выражение для потока энергии в рэлеевской волне и
анализ его зависимости от коэффициента Пуассона можно найти в статье
[494].
Рассмотрим теперь поверхностные волны вблизи границы жидкого (z > 0) и
упругого (z < 0) полупространств. Характеристическое уравнение для
определения горизонтальной компоненты волнового вектора получим из
условия V = °° (коэффициент отражения дается формулой (4.38)):
4та?2(а10, + 7? )+",*:?!= 0. (4.111)
Обозначим аналогично (4.102)
Q = с2п/с:?!, г = с2п/с2, s = к2п1%2 = v2/c2tl, (4.112)
здесь v - скорость поверхностной волны, сп и сп - скорости продольных и
поперечных волн в упругом полупространстве, с - скорость звука в
жидкости. Тогда
а = ко(1 - sr)1/2/u, а! = ico( 1 -sq)l!2jv, = /со(1 -s)1/2/u (4.113) и
уравнение (4.106) запишется в виде, аналогичном (4.103)
4y/T^qs - (s-2)2 = (s2/m)y/(r^lq)l(r^sr). (4.114)
В работе [84] показано, что уравнение (4.114) всегда имеет решение, Для
которого v < с, v < ctl; а,аi и /Sj - положительно мнимые величины. Тогда
потенциалы волны убывают по мере удаления от границы как при z > 0, так и
при z < 0, и волна является поверхностной.
Найдем такое решение уравнения (4.114) в явном виде в случае, когда
упругое полупространство граничит со сравнительно разреженной средой
(например, с газом), так что можно считать выполненными условия ю - Pi/p
^ 1 и г = с) ilc2 >1. (О существовании таких волн у поверхности Земли и
во льдах, плавающих по поверхности океана, см. работу [480].) Поскольку
мы ищем корень v < с, то s = v2[c2tl < 1. Разделим обе части (4.114) на
(1 - sq)1!2. Левую часть полученного уравнения, не содержащую больших
параметров, разложим по степеням s и ограничимся первой степенью. Возводя
затем все уравнения в квадрат, получаем 1 - sr = s2/4т2 (1 - q)2. Считая
здесь сначала правую часть нулем, имеем s = 1/г. В следующем приближении
в правой части положим s = 1/г. Тогда находим .
rs = 1 - [2mr(l -<7)]'2. (4.115)
Для скорости поверхностной волны зто дает следующий результат
v = cfls'/2 " с[1 - 1/(8ш2г2(1 -<7)2)]/' (4.116)
который несколько меньше скорости звука в верхней среде.
111
Из (4.113) теперь находим а " ifc/[2m(l -q) 1, aj (3j ik,
(4.117)
где к = со/с. Следовательно, убывание амплитуды потенциалов в верхней и
нижней средах при удалении от границы будет описываться экспонентами
Таким образом, в газе, поскольку mr > 1, амплитуда убывает при удалении
от границы очень медленно, в то время как в упругом полупространстве весь
волновой процесс сконцентрирован в слое толщиной порядка длины волны в
верхней среде. В горизонтальном направлении волна не затухает, если не
учитывать поглощение энергии в средах.
Волну с характеристическим уравнением (4.114) иногда называют волной
Стонели [247, 306], поскольку она получается как частный случай найденной
Стонели поверхностной волны на границе двух упругих сред.
Однако на границе раздела жидкого и упругого полупространства может
существовать еще и волна другого типа. Ее природу легче понять, если
снова предположить, что верхнее полупространство заполнено разреженной
средой. Если бы это был вакуум, то на границе существовала бы волна
Рэлея. Теперь она, по-видимому, также будет существовать, только ее
скорость несколько изменится из-за реакции верхней среды. Однако, если
эта скорость будет больше скорости звука с в верхней среде, то волна
станет частично излучаться в верхнее полупространство и будет относиться
к классу ''вытекающих" волн (leaky waves) (об этих волнах подробнее см.
статью Фелсена [261]).
В ''вытекающей" волне в отличие от обычной поверхностной фазовая скорость
по определению не параллельна границе; амплитуда такой волны убывает при
продвижении в направлении распространения вдоль границы. На рис. 4.10
изображены фронты волн в жидкости и в твердом теле (слева)
и нормальные к ним вещественные части волновых векторов (справа).
Предполагается, что ослабление волны в горизонтальном направлении (слева
направо) мало. Мнимую добавку к волновому вектору поверхностной волны,
обусловленную оттоком энергии в жидкости от границы, нетрудно найти из
уравнения (4.114). Наклон фронтов упругих волн в нижнем полупространстве
обеспечивает приток энергии к границе и соблюдение энергетического
баланса. Толщина линий, изображающих волновые фронты, условно передает
амплитуду волны. Интересно от-
exp [-kz!(2mr(\ -<?))], z > 0 и exp(&z), z < 0.
(4.118)
Рис. 4.10. Схематическое изображение ''вытекающей" волны на границе
жидкости и твердого тела. В левой половине рисунка изображены волновые
фронты, в правой - вещественные части волновых векторов
