Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
соотношений (4.1) для потенциалов упругих волн видно, что волновой
процесс в полупространстве z > 0, сосредоточенный вблизи свободной
границы z = 0, возникает при выполнении условий
р = exp (-az + i%x - iojt), а > 0, - а2 = к2.
(4.95)
cph = со/? = с( 1 +а2к~2) 1/2,
(4.96)
которая меньше, чем скорость звука с в свободном пространстве. По
(4.97)
а = к tg kh.
(4.98)
Ima > 0, Im 0 > 0, у>2 = Фг = 0.
(4.99)
Уравнения (4.5) при этом вырождаются в систему
Hi = 7<Pi" ау>, = -71//,,
(4.100)
которая имеет ненулевые решения только прн условии
а/J = -72.
(4.101)
108
Это соотношение называется характеристическим (или дисперсионным)
уравнением. Оно позволяет найти горизонтальное волновое число %R волны
Рэлея.
Характеристическое уравнение можно получить также совсем из других
соображений. Из (4.99) видно, что для существования поверхностной волны
необходимо, чтобы амплитуды y>i и отраженных от границы волн были
конечными при нулевых значениях амплитуд падающих волн. Следовательно,
найденные в п. 4.1 компоненты матрицы рассеяния (4.6) при ? = должны
обращаться в бесконечность. Это требование при учете формул (4.7) и (4.8)
вновь приводит к уравнению (4.101).
Нас будут интересовать вещественные решения характеристического
уравнения. В этом случае, согласно (4.1) и (4.99), получаем а ~ KZr - к^
У I2, = /(%к - к2;)1 . Обозначив далее
q = с\!с] = д/(Х + 2д), s = = v2R/c2t >0, (4.102)
где vR - скорость волны Рэлея, мы перепишем уравнение (4.101) в виде
4>/П=~5\Л -sq = (s- 2)2. (4.103)
После возведения в квадрат уравнение становится алгебраическим:
f(s, q) = 0, f(s, q) = s3 - 8s2 + (24 - 16<7)s - 16(1 - q). (4.104)
Заметим, что уравнение (4.13), если в нем ооозначить s - к2/%1, после
возведения в квадрат также сводится к (4.104). Положительные корни
уравнения (4.104), меньшие единицы, являются корнями (4.101) и дают
значения скорости волны Рэлея. Корни (4.104), большие единицы, являются
решениями (4Л 1) и дают, как показано в п. 4.1, угол падения упругой
волны, при котором происходит обмен поляризациями.
В силу неравенства (1.59) параметр q в (4.104) принимает значения 0 <<7 <
1/2. Учитывая это соотношение, легко убедиться, что
Э/
f(0,q)<0, f(l,q)>0, - (s, q) > 0 при s < 1.
(4.105)
as
Следовательно, все корни уравнения (4.104) положительны, причем в
интервале (0, 1) имеется ровно один корень уравнения. Таким образом,
скорость рэлеевской волны является однозначной функцией параметров
упругого полупространства. Поскольку кубическое уравнение имеет или один,
или три вещественных корня, то в зависимости от значения q существуют или
два значения ?0> ПРИ которых происходит обмен поляризацией при отражении,
или ни одного.
Рассмотрим частный случай X = д, q = 1/3 (см. (4.102)). Кубическое
уравнение (4.104) при этом имеет корни s = 4; 3,1547; 0,8453. Из них
первые два соответствуют случаю обмена поляризацией, а третий дает для
скорости волны Рэлея vR = 0,9194 ct.
Скорость рэлеевской волны не зависит от ее частоты. Она близка к скорости
ct сдвиговых волн в неограниченной среде, но несколько меньше ее. Из
уравнения (4.104) можно получить
vR/ct = 1 -5/2 - 552/8 + 2953/16 +0(54), (4.106)
где
5 н 1/[4(3 -40)1 = (1 - о)/[4(1 + а)] < 1/4, (4.107)
109
а - коэффициент Пуассона. На рис. 4.8 изображена (по Кнопову [411])
зависимость отношения vR/ct от а. Предельные значения этого отношения
составляют
о =0, q = 0,4, vR/ct = 0,8741;
о = 0,5, <7 = 0, vR/ct - 0,9554.
(4.108)
Заметим, что приближенная формула (4.106) в наименее благоприятном случае
а = 0 (5 = 1/4) дает vR/ct = 0,865 - значение близкое к точному (4.108)
Из соотношений (4.1), учитывая (4.99) и (4.102), находим потенциалы волны
Рэлея:
^ = y>i ехр (-л/l - qs г),
ф = (i/2) (s - 2) (1 - s)~112 "р, exp (-y/l-s %R z),
где ifii - произвольная постоянная (амплитуда волны). Отметим, что
потенциал убывает с ростом z быстрее, чем ф, и при %Rz > 1 волна
становится почти чисто сдвиговой. По формулам (4.2), выделяя вещественную
часть, для компонент смещения получаем
"PiЬ [(1 - s/2) exp (- Z) -
(4.109)
"1
- exp (- \/Т - qs %R z)\ sin (?Л x-cof),
"з = "Pi b Vl - Qs [(1 - s/2)"1 exp (- уД -s %R z) -
- exp (- Vl - qs %R2)\ cos (?Л x-cot).
(4.110)
Видно, что и, и "з разнятся по фазе на четверть, периода. Следовательно,
траектории частиц представляют собой эллипсы с главными осями,
параллельными х иг.
На рис. 4.9 по оси абсцисс отложены по Викторову (см. [69]) величины "1 и
"з .(без множителей sin(cof - %Rx) и cos(coi - ?я*)), отнесенные
Рис. 4.8. Отношение скорости волн Рэлея vR к скорости сдвиговых волн ct
как функция коэффициента Пуассона о
Рис. 4.9. Зависимость горизонтальной и1 и вертикальной и3 компонент
смещения в рэлеевской волне от вертикальной координаты г. Смещения
отнесены к#, - амплитуде вертикального смещения на границе, а координата
г - к длине волны Рэлея \R
110
к амплитуде вертикального смещения на границе z = 0; по оси ординат -
значения г/ХЛ, где ХЛ = 2я/?Л - длина волны Рэлея. Сплошные кривые
