Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
a = Jfccos0, a, =кц cos0,, 0, = ktl cos0f, 7, = - ktl cos 20,/2 sin 6t.
(4.41)
Из (4.40) следует ''закон преломления" (ср. (2.196)):
sin 0c_1 = sm0,c,~1 = sin 6tct\ • (4.42)
Целесообразно также ввести следующие обозначения для импедансов:
Z= pc/cos 0, Z, = p,cn/cos0/, Z, = p,cn/cos0f. (4.43)
Тогда выражения (4.38) и (4.39) примут вид
V = (Z, cos2 20, +Zf sin2 20f - Z)(Z, cos2 20f + Zf sin2 20f +Z)_1,
(4.44) IP/ = 2ррУ Z/ cos 20,(Z, cos2 20, + Z, sin2 20,+Z)_I, (4.45)
IP, = -2pp,~'Z, sin 20f (Z/ cos2 20, + Z, sin2 20, +Z)"1. (4.46)
Проанализируем полученные формулы. При нормальном падении (0 = = 0/ = 0,
= 0) имеем
V = (Z, - Z)(Z, + Z)-', IP, = 2pZ,[p,(Z, + Z)] -", IP, = 0. (4.47)
Как и следовало ожидать, в этом случае сдвиговые волны не возбуждаются.
Твердое тело ведет себя, как жидкость с плотностью р, и скоростью звука
с,,. Наоборот, при 0 = arcsin (c/>/2ctl), когда, согласно (4.42), 0, =
я/4, получаем
V =(Z/-ZXZ,+Z)-1, W,= 0, !P, = -2pZ/[pI(Z/+Z)]-1, (4.48)
т.е. возбуждаются только поперечные волны.
В большинстве наиболее интересных случаев скорость звука с в жидкости
меньше, чем скорость продольных волн с,, в твердом теле. Она может быть
также и меньше скорости поперечных волн с,,. Рассмотрим вначале случай
сг1 < с < сц. Из (4.42) видно, что при sin0 > с/сц значение угла 0/будет
комплексным. Значение же 0, вещественно при всех 0. Таким образом,
продольная волна в твердом теле будет неоднородной волной, бегущей вдоль
границы и спадающей при удалении от нее. Поперечная же волна будет
обычной плоской волной. Поскольку sin 0, > 1, то cos 0, и, следовательно,
Z, - чисто мнимые величины. Из требования ограниченности поля при z -*•-
°° следует, что значение cos 0, должно быть положительно мнимым, а
следовательно^, - отрицательно мнимым.
7. Л.М. Бреховских *7
Коэффициент отражения (4.44) в этом случае запишется как V = (Z, sin2
20,-Z-/|Z,| cos2 2Bt)(Zt sin2 20, *Z-i IZ, | cos2 20,)) "*
(4.49)
и, следовательно, будет комплексным. Квадрат его модуля равен
| V\2 = [{Zt sin2 20, - Z)2 + I Z,|2 cos4 20,] [(Z, sin2 20, + Z)2 +
+ |Z,|2 cos4 20,]"*. (4.50)
При 0/ Ф я/2 модуль коэффициента отражения меньше единицы, что можно было
ожидать и заранее, поскольку часть энергии уносится от границы поперечной
волной. Угол падения звуковой волны 0= arcsin {с/сц) является
''критическим". При этом 0/ = я/2, Z, = <*>, V = I, Wt = Q, = = 2р[р,(1-
2с2,1/с?1)]-1.
Теперь рассмотрим случай с < ctl < сп. При 0 < sin 0 < с/с,,, как видно
из (4.42), значения углов 0, и 0, будут вещественными, т.е. имеет место
обычное отражение на границе с вещественным и меньшим единицы
коэффициентом отражения. При ''критическом" угле для продольных волн 0 =
arcsin (с/с,,) имеем 0, = я/2 и, согласно (4.44), V = 1. Тогда Wt = 0и W[
Ф- 0, т.е. в упругом полупространстве возбуждаются только продольные
волны.
При с/с,, < sin 0 < с/с,, значение 0, будет вещественным, а 0, -
комплексным, т.е. получаем случай, рассмотренный выше. Угол 0 = arcsin
(с/с, t) является ''критическим" для поперечных волн. При этом 0, = я/2,
Z, = °°, V = (Z, - Z)/(Z, + Z) и | V] =1. При 0 > arcsin (с/с,j)
комплексными будут оба угла 0, и 0,. Это означает, что продольная и
поперечная волны в твердом теле являются неоднородными волнами,
распространяющимися вдоль границы. Значения Z, и Z, будут чисто мнимыми.
Из (4.42) видно, что величины sin2 20, и cos2 20, вещественны при любых
0. Поэтому коэффициент отражения запишется как
V= (I Z,| cos2 20, + | Z,I sin2 20, - iZ)X
Х(| Z,| cos2 20, + IZ,| sin2 20, + iZ)'1. (4.51)
Ясно, что | V\ = 1, т.е. имеет место полное отражение.
Отметим, следуя работе [244], еще одно обстоятельство. Выражение (4.44)
для коэффициента отражения можно записать в виде
V={Z" -Z)(Zb+ Zy1, (4.52)
где величина
Zb = Z, cos2 20,+Z, sin2 20, (4.53)
представляет собой полный импеданс границы, обусловленный наличием
продольных и поперечных волн в нижней среде. При вещественных значениях
углов 0, и 0, из формул (4.42) и (4.43) имеем
Z,/Z, = Сд cos0,/c,i cos 0, > c,i/c,i >\fl. (4.54)
Следовательно, Zb/Z, < 1; здесь равенство имеет место только при 0, = О и
0, = я/2. Таким образом, при 0 < 0, <я/2 полный импеданс твердой границы
меньше, чем импеданс жидкости с теми же Pi и Сц, т.е. учет возбуж-
дения поперечных волн прн отражении соответствует некоторому как бы
размягчению границы. В работе [244] показано также, что при изменении
угла падения в, величина Zb изменяется меньше, чем импеданс эквивалентной
жидкости Z/, так что в некоторых случаях отражение от твердого тела
приближенно можно рассматривать как отражение от среды, характеризуемой
не зависящим от угла импедансом.
Выше были приведены выражения (4.45) и (4.46) для коэффициентов
возбуждения продольной и поперечной волн в нижнем полупространстве
звуковой волной в терминах потенциалов. Приведем теперь аналогичные
величины для других характеристик упругих волн. Согласно формуле (4.2),
амплитуды смещений в плоских продольных и поперечных волнах М/ и ut
