Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
сводится к соотношению
1 +Re F(0) = ReIV(0). (5.15)
Однако при со -> 0 справедливо более общее равенство (для определенности
считаем здес^ со > 0),
1 + V = IV, (5.16)
взяв вещественную часть от которого, мы и получаем (5.15). Действительно,
в случае отражения от границы раздела двух однородных сред коэффициенты V
и IV не зависят от частоты и равенство (5.16) просто следует из условия
непрерывности звукового давления. В более сложных случаях, когда
отражение происходит от слоя или совокупности слоев, для частоты со ->¦ 0
(т.е. дня бесконечной длины волны) вся эта совокупность будет
представлять собой сосредоточенную систему, которая никак не скажется на
процессе отражения, и последний будет происходить так, как будто бы
среды, разделяемые этой совокупностью, соприкасались непосредственно. Для
дискретно-слоистой среды это можно видеть из формул (2.66), (2.67) и
(2.74), которые показывают, что предельный переход со -" 0 (kj cos 0; ->
0) эквивалентен с/у -" 0, где / = 2, . . . , п, т.е. исключению влияния
всех промежуточных слоев.
Теорема сохранения полного импульса справедлива даже в значительно более
общих условиях, чем принятые при изложенном выше доказательстве.
Тождество (5.9) выполняется и там, где среда неоднородна. Вообще, для
возмущения длящегося конечное время, в трехмерно-неод-
+ оо
нородной жидкости полный импульс / p(r, t)dt не зависит от г. При
- оо
доказательстве будем исходить из уравнения (1.9). Интегрируя по /,
получаем
-ру = V( } p(r,t)dt), (5.17)
г=-о" -"
где v - колебательная скорость частиц. Согласно предположению о конечной
длительности звукового сигнала можно считать скорость на бесконечных
пределах равной нулю. Значит, равен нулю и градиент интеграла. Отсюда
вытекает утверждение теоремы.
К числу общих законов, выполняющихся при отражении плоского импульса в
слоистой среде, относится, конечно, и закон сохранения энергии, который
записывается в виде
Si + Srz = Si (5.18)
где через Slz, Srz и обозначены компоненты интегральной по времени
117
плотности потока энергии по оси z соответственно в падающей, отраженной и
преломленной волнах. Величины Sz и Srz имеют разные знаки. Для падающего
звукового импульса, учитывая формулу (2.8) для вектора плотности потока
мощности, имеем
si = }тР/ЦжЛ, (5.19)
где р/ и vlz - звуковое давление и компонента скорости по оси Z в
падающей волне. Аналогично записываются также Sz и S{.
Для обоснования соотношения (5.18) заметим, что вертикальные компоненты
потоков энергии в падающей и отраженной волнах аддитивны. Действительно,
из уравнения (1.9) следует, что в плоской волне (5.1)
viz ~ - (cos в /рс) р{. (5.20)
Поэтому в верхней среде вертикальная компонента вектора плотности потока
мощности (2.8) равна
Iz = pvz = (Pi+Pr) (cos в/рс) (Pi - pr) = PiViz+prvrz. (5.21)
Следовательно, левая часть (5.18) дает интегральную плотность потока
энергии через границу в верхней среде. Тогда в случае отражения от
границы однородных сред (5.18) вытекает из непрерывности плотности потока
мощности на границах, которая является очевидным следствием граничных
условий непрерывности р и vz. Если между однородными полупространствами г
> 0 и г < Z| заключена совокупность слоев, следует дополнительно принять
во внимание, что в силу горизонтальной симметрии задачи полный поток
энергии через участок плоскости х = х0, заключенный между горизонтами z =
0 и z = Z|, не зависит от х0. Ясно также, что величины S'z, и Sz не
зависят от горизонтальных координат. Тогда из закона сохранения
акустической энергии следует равенство друг другу ее интегральных потоков
через плоскости z = 0 и z = z г которое, как показано выше, эквивалентно
соотношению (5.18).
Убедиться в справедливости (5.18) можно также, разложив импульс на
гармонические волны и суммируя потоки энергии в последних.
При полном внутреннем отражении Sz = 0, поскольку преломленный импульс
распространяется вдоль границы раздела и не уносит энергию в область z -"
- оо. Из формулы (5.18) при этом получаем S'z + Sz = 0. Подробное
доказательство последнего соотношения см. в [17, с. 7] и [327].
5.2. Изменение формы импульса при полном внутреннем отражении от границы
двух однородных сред. Рассмотрим вслед за Фишером [357] импульс, форма
которого задается функцией (рис. 5.2)
/(f) = Ат/(т2 + f2), (5.22)
где А - амплитуда, т > 0 - параметр размерности времени, характеризующий
ширину импульса. Спектральная плотность импульса легко определяется по
формуле (5.3) и равна
Ф(оэ) = 0,5 А ехр (- | оэ | т). (5.23)
Из (5.3) и (5.12) видно, что спектральная плотность б-импульса /(f) = =
5(f) постоянна и равна 1/(2я). Следовательно, при т -*0 рассматривае-
118
Рис. 5.2. Форма импульса, принятая при расчете временной зависимости
звукового поля
мый импульс (5.22) с точностью до несущественного амплитудного множителя
переходит в 5-импульс.
Если имеет место обычное, а не полное внутреннее отражение, то, как мы
видели, форма отраженного и преломленного импульсов совпадает с формой
