Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
настоящее время матричные методы широко используются, особенно в
сейсмологии, в аналитических и численных исследованиях распространения
упругих волн в слоистых средах. Ссылки на многочисленные оригинальные
работы можно найти в обзорах [21, 537] и монографии [4, гл. 5, 7].
Подробное обсуждение и сопоставление различных вариантов матричного
метода исследования упругих волн в слоистых средах проведено Молотковым в
монографии [198].
Обозначим через г,- координату верхней границы слоя / = 1, 2, . . ., п. В
каждом слое потенциалы упругих волн имеют вид
"</) = v(/>eta("-"/_i) +^(/)e-fa<"-"/-i>, Z/_! < z <zh
ф(П = ф(/)е"'"*-*ы) +Im а > 0, Im 0 > 0, (4.64)
причем а, 0, и внутри слоя постоянны. Нам нужно, предпола-
гая известным поле в ;-м слое, найти его в слое / + 1. Для этого удобно
характеризовать поле не вектором ip, составленным из четырех величин
2 и Ф1,2 > который, как мы видели в п. 4.2, довольно сложно преобразуется
при переходе через границу, а так называемым вектором смещения-напряжения
/(z) = (и,, и3,озз,Оз1)Г- (4.65)
Здесь Т обозначает операцию транспонирования*). В силу
граничных
условий (1.70) вектор /(z) (в отличие от потенциалов) непрерывен на
л?,*)По определению, для матрицы В = { Ь^}, составленной нз элементов Ьд>
В ~ ( bki)- При транспонировании матрица-строка переходит в столбец, т.е.
вектор.
101
1> = L[a,a'\
W '
ia -ia
2рЬ 2д?7 -2р%$ 2р%&
•2д?а 2д?а -2 д?т -2р!-у
границах. Связь между векторами <p(z) и /(г) дается формулами (4.2) и
(4.3). В матричных обозначениях она имеет вид
f(z) = B(z,zf_l)tp, (4.66)
где
(4.67)
Для краткости мы обозначили
а = exp [m(z/ - zf_,)], b = exp [Щг, - z}_ j)]. (4.68)
Здесь и далее символ [ei, аг, #3, #4] используется для записи
диагональной матрицы с элементами сц = а,- б у.
Воспользовавшись постоянством <р внутри слоя, из соотношения (4.66) легко
найти искомую связь векторов смещения-напряжения на двух соседних
границах:
/(*/) =i(/)/(*/_!),
= B(zhzf_1)B-i(zi_uzi_l) = L[a,a-l,b,b~l]L-K (4.69)
Элементы матрицы находятся из (4.67) обычным образом. После
хотя и громоздких, но несложных операций, получаем
Яц = Л44 = 2sin20f • cosP + cos 2вг ¦ cos Q, P = a(Zj - Zj_i),
Q = 0(2/ -zl_l),
0\2 = e34 = i(tg 0/ • cos 261 - sin P - sin 261 • sin Q),
O13- #2 4 = i sin 0r(cos Q- cosP)/(upct),
Ox 4 = (tg 6/ • sin 6t ¦ sin P + cos 6t ¦ sin Q)/(copc,),
#21 = #4з = /(2ctg 6t • sini6t ¦ sinP- tg 6t cos 26t • sin 0, (4.70)
'#2 2= взз= cos20f • cosi,+ 2sin20f ¦ cosQ,
#23 = (ctg 6t • sin 6t ¦ sin P + sin 6t ¦ tg 0f sin 0/(copcf),
<*3i = #42 = -2ib)pct ¦ sin 6t cos 20f(cos Q - cosP),
#32 = -copcf(tg0? • cos220f • sini* + sin220f • tg0f • sin Q)/sin 6t,
#4i = - copcf[4ctg 0г • sin30f • sinP-t (cos220f/cos 6t) sin Q].
В соотношения (4.70) должны быть подставлены значения параметров р, ct,
6i, 6t, ан|3, соответствующие /-му слою. Если cjc > 1 н sin 0 >с/сг, то,
согласно (4.63), sin&{ > 1, т.е. 0; - комплексная величина. В этом случае
удобно положить вх = п/2 + if, sin 0j = ch f, cos 0; = - i sh f и при
расчетах пользоваться величиной f. Сказанное выше может быть отнесено и к
углу 6t, если ct/c> 1.
Последовательное применение формулы (4.69) позволяет связать значение
вектора смещения-напряжения на границе сред 1 и 2 с его значе-102
нием на границе сред и и и + 1:
/(2") = i/(2,), А = ... • i<3)-i(2). (4.71)
Внутри любого однородного слоя можно искусственно ввести дополнительную
границу на произвольном горизонте. Тогда формула (4.71) становится
справедливой для любых значений гп и z,:
f(z) = A(z,z)/(!). (4.71а)
А
Матрицу А (2, z) называют матричным пропагатором. Она позволяет ''рас-
пространить" поле с горизонта г на горизонт z и обладает рядом
замечательных свойств. Например, из (4.71а) непосредственно следует, что
A(z, z) = A~x(z,z), (4-72)
A(z, z) = A(z, z0)A(z0, z), z < z0 < z. (4.73)
Кроме того
det И = 1. (4.74)
Действительно, согласно (4.69), det A ^ = det [a, a'1 ,b, 6'1] - 1 и тож-
дество (4.74) следует из определения (4.71).
Перейдем теперь непосредственно к задаче об отыскании коэффициента
отражения. Поместим начало координат в соответствии с рис. 2.5 на границу
сред 1 и 2. Суммарное поле падающей и отраженной звуковых волн в верхнем
жидком полупространстве можно записать как
^(и + 1) = e-ia(z-zn> + Vei<xiz-z")' z > Zni (4 ?5)
где V - коэффициент отражения, а = сое-1 cos в. В нижнем, упругом
полупространстве z < 0 будут только уходящие от границы z - 0 волны с
потенциалами
^О) = W,e'ia^, ф(х) = Wte~i0'z,
а, = ojcfi cos Bh |3, = coc^i cos $t. (4-7^)
Систему уравнений для нахождения коэффициентов V, W, и Wt получаем,
выражая f(zn) через потенциалы при помощи (4.66) и (4.71):
B(z", z")(V, 1,0, 0)г = АВ(0, 0) (О, W,, 0, Wt)T. (4.77)
Л
Используя явный вид (4.67) матрицы В и равенство ду = -со2р/( 20,
справедливое в жидкости, из (4.77) получаем
i% W, + i@1 Wt = A I -i0LlWl + itWt
|' (4Л8>
Индекс 1 имеют величины, относящиеся к упругому полупространству.
При определении коэффициентов Wltt и V мы не будем использовать равенство
