Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
связаны с амплитудами потенциалов и соотношениями М/ = = , ut =
kt 1ф1. Используя (4.37), находим амплитуды волн в нижней
среде:
где ро - амплитуда давления в падающей звуковой волне.
Представляют интерес также выражения для нормальной к границе компоненты
вектора плотности потока мощности в отраженной волне в жидкости Iг, а
также в продольной и поперечной волнах в твердом теле
Здесь I - нормальная к границе компонента вектора плотности потока
мощности в падающей звуковой волне. Два последних соотношения имеют смысл
соответственно только при вещественных значениях 0/ и Qt. Когда
продольная (поперечная) волна в нижней среде становится неоднородной,
величина // (It) обращается в нуль. Читатель может убедиться, используя
формулы (4.42)-(4.46), что во всех случаях соблюдается закон сохранения
энергии: I = 1Г + 7/ + It. На рис. 4.5,а семейство кривых 7 изображает по
Эрджину (см. [351]) зависимость модуля коэффициента отражения | VI от
угла падения при р,/р = 3, сп/с = 3 для трех случаев: при C/i/Cfi, равном
1,6 (кривая 1), 1,7 (кривая 2) и 1,8 (кривая 3). Кривые II на рис. 4.5 д
и кривые 777 на рис. 4.5,6 для тех же случаев изображают соответственно
зависимость (7//7)1/2 и (7Г//)1^2.
Завершая рассмотрение отражения волн от границы жидкости и твердого тела,
приведем без подробного исследования формулы для остальных компонент
матрицы рассеяния на границе жидкого и упругого полупространств.
Поскольку в жидкости поперечные волны отсутствуют, то ф) = = ф2 = О и в
рассматриваемом случае элементы второго столба и второй строки матрицы S
(4.22) определять не нужно. Требуется найти шесть коэффициентов,
характеризующих соответственно процесс отражения продольной и поперечной
волн, падающих из твердого тела на границу с
жидкостью: Уц, Vit, У/ц, Vtt, Уц, Wtl. Искомые коэффициенты получаются из
формул (4.28) -(4.32) после переобозначения входящих в формулы параметров
сред: с/ *-"• сп , ct*-+ctl, р *-*¦ р\. Переход к пределу д 0
производится так же, как и при выводе (4.38).
Ы/ = (Ро1ь>рсп) Wh ut = (ро/ырсц) Wt,
(4.55)
I, и It-.
Ir/I = | V\2, It/1 = PiP'1 tg в ctg в 11 H',12, /f//=pip-1 tg в ctg 6t |
Wt|2.
(4.56)
7*
99
Рис. 4.5. Зависимость энергетических коэффициентов отражения и
прозрачности от угла падения плоской волны из жидкости на упругое
полупространство
Итак, коэффициент отражения продольной волны
Vtl = [Z + Zf sin2 20 f - Z; cos2 20f] [Z +Zf sin2 261 + Z( cos2 261\
.
(4-57)
Коэффициенты трансформации продольной волны в поперечную и в звуковую
волну в жидкости
Vu = -2 ctg 6t sin2 6t (1 - F//)/cos 261, (4.58)
Wn = tg 6 ctg в, (1 - V")/cos 261. (4.59)
Коэффициент отражения поперечной волны
Vtt = - (Z +Z/ cos2 26t - Zf sin2 261) (Z + Zt cos2 26t +Zt sin2 26t)~1.
(4.60)
Коэффициент трансформации поперечной волны в продольную и в звуковую
волну в жидкости
Vti = tg0/cos20f(l + Fff)/2sin 26t, (4.61)
Wa = tgfl(l +Fff)/2sin20f. (4.62)
Читатель может убедиться, что при Z -^0 формулы (4.57), (4.58), (4.60) и
(4.61) переходят в полученные в п. 4.1 соотношения для случая отражения
от свободной границы твердого тела.
Энергетические соотношения при отражении упругих волн, падающих из
твердого тела на границу с жидкостью, проиллюстрированы в работе Эрджина
[351].
4.3. Отражение звуковой волны от произвольного числа упругих слоев.
Представим себе снова (как на рис. 2.5) систему из и - 1 слоев,
ограниченную снизу твердым, а сверху жидким полупространством. Из жидкого
полупространства падает на систему слоев плоская звуковая волна с еди-
100
ничной амплитудой и углом падения в. Скорость звука в жидкости равна с.
Требуется определить амплитуды отраженной волны и двух волн (продольной и
поперечной) в нижнем полупространстве. В каждом из слоев возникает пара
продольных волн (распространяющихся вверх и вниз симметрично по отношению
к горизонтальной плоскости) и пара аналогичных поперечных волн. В нижнем
полупространстве возникнут уходящие вниз продольная и поперечная волны.
Для всех волн характерен один и тот же множитель ехр [/(?* - wt) ], где
% = fcsinfl = fej(z) sin в,(г) = kt(z) sin 6t(z), (4.63)
который мы для сокращения записи будем опускать.
На каждой границе, разделяющей твердые среды, должны выполняться четыре
граничных условия (1.70). На границе верхнего слоя непрерывности
компоненты "j смещения не требуется.
Прямой путь решения задачи заключается в составлении с помощью всех
граничных условий Ап - 1 линейных алгебраических уравнений относительно
неизвестных амплитуд такого же числа волн, включая и отраженную волну, а
затем в решении этой системы методом обращения матриц. Однако более
рациональным, как и в случае отражения от системы жидких слоев,
рассмотренном в п. 2.5, оказывается другой метод, основанный на
использовании рекуррентных формул, связывающих амплитуды волн в соседних
слоях. Этот метод, предложенный Томпсоном [525] и уточненный Хаскеллом
[384], является частным случаем метода матричного пропагатора [3711. В
