Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
падающей волны описывается 5-функцией: /(f) = ^5(f), то для падающего
импульса произвольной формы отраженные и прошедшие звуковые поля
выражаются интегралами свертки:
pt(x, z, t) = A'1 f dtiPf(x, z, f )Pi(0, 0, t\), (5.37)
- oo + oo
pr{x, z,t) = A'1 f dtlpr(x, z,t-U)Pi(o, o, f,). (5.38)
121
Эти соотношения вытекают из очевидного равенства Pi(x, z, t) = pt ^0,0, t
sin в + - cos =
+" / x z \
= / dtt6 I - sin0 cost? - t + fj )pi(0, 0, ti)
-о \c с /
и из принципа суперпозиции. При учете формул (5.30) и (5.35) тождества
(5.37) и (5.38) сводят задачу определения отраженного и прошедшего
импульсов в общем случае к интегрированию во временной области, которое в
некоторых случаях (для коротких импульсов) при численных расчетах
оказывается проще (см. [514, 527]), чем интегрирование в частотной
области по формулам (5.3), (5.5) и (5.8). Как правило, однако,
интегрирование по частоте является более предпочтительным. Оно
значительно облегчается применением алгоритма быстрого преобразования
Фурье.
Выражения (5.38) и (5.30) показывают, что при полном отражении импульс рг
всегда состоит из двух частей, одна из которых повторяет форму падающего
сигнала, а вторая выражается преобразованием Гильберта [146, гл. 8] от
нее:
+ оо
я-1 / [(* sin в +z cos в)/с - t + fj]_1 Pj(0, 0, ti)dti. (5.39)
- oo
Из-за особенности при ti = t - (x sin в + z cos в)/с интеграл здесь
понимается в смысле главного значения.
Важно подчеркнуть, что все проведенное выше рассмотрение переносится на
другие случаи отражения от границ однородных сред (упругих
полупространств, упругого и жидкого полупространств, отражение от
свободной границы твердого тела), где, как и для границы двух жидкостей,
коэффициенты отражения и трансформации волн при со > 0 не зависят от
частоты.
В литературе можно найти исследования изменения формы импульса при полном
внутреннем отражении для ряда таких падающих импульсов, что
преобразование Гильберта (5.39) легко вычислить. Так, в работах [327,
365] исследовано отражение и преломление ''столообразного" (ступенчатого)
импульса, поле в котором имеет постоянную величину на некотором интервале
времени (Гц t2) и равно нулю вне этого интервала. Ароне и Йенни [17]
рассмотрели отражение экспоненциального импульса, заданного при х = z = 0
уравнением
| 0, t < 0
р(0,0, t) = U' (5.40)
1 А ехр(-Хт), Х> 0, t> 0.
Эта функция неплохо описывает форму головного импульса при подводном
взрыве. Теорию авторы сравнили с экспериментом по регистрации взрывного
импульса в слое воды, ограниченном сверху свободной поверхностью, а снизу
- дном. Отражение импульса, в котором экспоненциальному спаданию при t >
0 (как в (5.40)) предшествует линейное нарастание в речение •некоторого
времени при t < 0, рассмотрено в работе [347].
122
Искажение формы квазимонохромаатического импульса (с прямоугольной или
гауссовой огибающей) исстедовано Кроном и Нутталом [343]. Подробный
анализ проникновения неегармонической плоской волны в нижнюю среду при
полном отражении даш в статье Ж. Тьетта и С. Тьетта [527]. Последняя
работа содержит получентые численным интегрированием многочисленные
иллюстрации, относящщеся к квазимонохроматическим импульсам со
ступенчатой и гауссоюой огибающими, к импульсу вида р (О, О, Г) =0 при t
< 0 и р (0, 0, t) =А sin ojt при t > 0, а также к ''столообразному" и
гауссову импульсам.
Имеется также ряд работ, где рассматривалось отражение от других видов
границ раздела. Анализу искажения формы импульса в неоднородной упругой
среде посвящена ра(бота [332]. Отражение и прохождение экспоненциального
импульса через пластинку при нормальном падении рассмотрено в работе
[437]. Более сложный случай отражения звукового импульса от слоя (с
поглощением), разделяющего два однородных полупространства,
проанализирован с многочисленными примерами в работе [459]. На основе
расчета (аналогичного изложенному в п. 4.3) коэффициентов отражения и
прохождения монохроматической плоской волны и соотношений (5.37), (5.38)
в работе [514] рассчитаны отраженный и прошедший через систему
поглоицающих упругих слоев звуковые сигналы для случая
"столообразного"падающего импульса.
К рассматриваемой задаче об искажении формы импульса при отражении тесно
примыкает вопрос о деформации сигнала, распространяющегося в среде с
дисперсией. Обзор работ по этому вопросу можно найти в монографии [83^гл.
21, 22, 24] и в статье [67].
На примере выражения (5.30) М1ы видим, что при полном отражении в верхней
среде звуковое давление отлично от нуля при любом значении г, в том числе
и до прихода падающего импульса. Другими словами, в верхнем
полупространстве распространяется волна-предвестник. Это, однако, не
противоречит принципу причинности. Плоский импульс в любой момент времени
имеет контакт с границей. В месте контакта возбуждается боковая волна.
Она распространяется вдоль границы раздела быстрее следа падающей волны и
обусловливает существование предвестника. (Подробнее о боковой волне речь
