Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
начинающего работу при t = 0, это противоречит принципу причинности.
Чтобы устранить такое противоречие, в работе [529] предполагается, что
соотношение (5.43) справедливо только если f i < 0, т.е. после достижения
падающим импульсом горизонта zm, а если f | > 0, то рг =0. Такое
предположение, однако, не спасает дело. Чтобы убедиться в этом,
Достаточно заметить, что нарушается закон сохранения интегрального им-
пульса: / pdt = А, на участке ОТ, а на участке TR этот интеграл равен
оо
бесконечности. Источником противоречий является неправомерное перенесение
результатов, полученных для плоских импульсов, на случай точечного
источника. Кроме того, скачок фазы в -л/2 на луче происходит не в
окрестности точки поворота, а при касании каустики (см. § 16, 17).
Последовательный анализ ноля сосредоточенного импульсного источника в
слоистой среде, в том числе при наличии каустик разных видов и в условиях
волноводного распространения, проведен в [316, 317, 328,
Рис. 5.4. Луч в непрерывно-слоистой среде при наличии полного отражения
Г
125
391, 533]. Отражение сферического импульса от границы однородных
полупространств (жидких или упругих) рассмотрено в работах [532], [4, гл.
6], [127] и других.
§ 6. Универсальные свойства коэффициентов отражения и прозрачности для
плоских волн
Коэффициенты отражения и прозрачности для монохроматических плоских волн
обладают рядом универсальных свойств, не зависящих от вида слоистой
среды. Рассмотрение этих свойств мы начнем с анализа связи коэффициентов
прозрачности для плоских волн, распространяющихся в жидкости во встречных
направлениях [94].
б.1. Симметрия по отношению к обращению направления хода волны. Пусть
неоднородная среда, скорость звука в которой равна c(z), плотность p(z),
а скорость течения v0(z), занимает слой z2 < z < zx между
полупространствами с параметрами с, ,р,, v0I (z > z i) и с2, р2, v02(z <
z2). При наличии поглощения волновое число и плотность могут принимать
комплексные значения. Зависимость всех параметров среды от координаты z
будем считать кусочно-гладкой. Падающая из верхнего полупространства
плоская волна, согласно формулам (1.30), (1.32) имеет вид
Pl=Aexp[itr-ivi(z-Zi)], .
и, -(*??? -?2)1/2, Im i>| >0.
Как и ранее, мы используем обозначение j3=l~ ?v0/oj. Принятое в (6.1)
правило извлечения квадратного корня означает невозрастание амплитуды
волны в направлении распространения. В нижнем полупространстве образуется
плоская волна с тем же значением горизонтального волнового вектора ?:
Pt=AWi2(Z)exp[i?r-iv2(z - z2)],
V2 = (*2 02 - S2)1/2, lm v2 > 0.
Величина W{ 2 имеет смысл коэффициента прозрачности слоя (по давлению)
при падении волны из верхнего полупространства.
Волновое уравнение в рассматриваемой задаче удобно взять в виде (1.45).
Обозначая /1>2(?) какую-либо пару непрерывно дифференцируемых линейно
независимых решений этого уравнения, для звукового давления в
неоднородном слое получаем
Р=Лехр(1{г)[В1/1(Г)+Д2/2(П], (6.3)
где B\t2 - неизвестные постоянные. Их можно определить из граничных
условий, записанных при f = f j,2. Из формул (6.1)-(6.3) и (1.46) имеем
в./. а 1)+в2/2а,) = 1 + к,, в,/, $2) + в2/2а2)=w, 2,
bj ; а,)+B2f i а,)=- * а - vx) Po к P, m ), (6.4)
В if i (?2) + B2f 2(52) = - iWi2v2po!(p2l$2).
Исключая из системы линейных уравнений (6.4) величины 2?12 и коэффи-
126
циент отражения V ,, находим
Wx 2 (0 = - 2iwp2ji\(p0Vi )-*{[/, (Г1) /2ttz ) - /1 (Г2 )/аffi) +
+ (/1 (ir 1 )/*2 (i"2 ) - /1 (?2 )/2 Cf I )) P I Рг/3| 02 /(Po^l "*2 )1 +
+ i [( /2 (fc ) /.'(?! ) - /. (fc )/ 2 (f 1)) p. /( Po*'l) +
¦(/ЛЫЛ^-ЛК.ШЬ)) P2/3l/(P0^2)]> (6.5)
где w = /, (f2) /2(5:2) - /i'(?2)/2(?2) - вронскиан решений/, и/2. Он не
зависит от точки, в которой берутся значения функций /1>2 и их
производных.
Из симметрии задачи ясно (и может быть подтверждено прямым вычислением),
что выражение для коэффициента прозрачности W2i слоя при падении плоской
волны снизу получается из соотношения (6.5) повсеместной заменой индексов
1 +->2 и знаков перед v,>2¦ При таком преобразовании величины,
заключенные в (6.5) в квадратные скобки, не изменяются, a w переходит в -
w. Таким образом, приходим к равенству
^12(0 У2/(Р201)= ^2,(0 /( Pi /3i), (6.6а)
выражающему свойство симметрии коэффициентов прозрачности произвольного
неоднородного слоя. Если ввести, как и в п. 2.6, импедансы полу-'
пространств Zj = сopjfij/vj (/ = 1,2), то равенство (6.6а) запишется
компактнее:
^,2(0Z,(f)=lV21(f)Z2(f). (6.66)
В неподвижной слоистой среде для справедливости соотношений (6.6)
достаточно потребовать равенства модулей горизонтальных волновых векторов
волн, падающих из верхнего и нижнего полупространств, так как коэффициент
прозрачности не зависит от ориентации вектора ? в горизонтальной
плоскости. При наличии течения направление горизонтального волнового
вектора становится существенным. Для этого случая полные волновые векторы
падающих из верхнего и нижнего полупространств плоских волн, коэффициенты
