Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
меняющимися. В виду одинакового характера особенностей подынтегральных
выражений в (13.6) и (13.23) соответственно прн q "л и q " 1, расчет
смещения пучка в случае скользящего падения оказывается аналогичным
проведенному выше вычислению смещений Дс н Ад* для пучков с углами
падения, близкими к 6.
Пусть, например, лучок имеет спектр гауссова типа (13.13), q0 " 1.
Предполагая малой деформацию падающего пучка прн распространенны, будем
считать k2h2 <€kw. Тогда прн вычислении огибающей прн помощи интеграла
(13.6) можно заменить exp{/fcft((l - q2)1^2 - (1 - ql)1^2]} первыми
членами ее разложения по степеням kh. В результате интеграл принимает
вид, аналогичный (13.14). Проводя вычисления, как в п. 13.2, для смещения
максимума огибающей отраженного пучка относительно максимума огибающей
падаюшего пучка на границе раздела получаем
^M(Qo) = iV(Qo)[k V(qo)yWu2I2exp(-uj(4)D_l/2 (-ы2),
иг ^kw\j2g{\). (13.41)
Здесь для простоты мы пренебрегаем поглощением звука в среде. Для
справедливости формулы (13.41) не требуется близости qo к единице, но
должно быть выполнено неравенство kxv\n - 1^1- Оно гарантирует,
что точка ветвления q = п не попадает в существенную область
интегрирования. При 1 - qo ^ 1 аргумент функции параболического цилиндра
иг * kw \g" (go) ] Хо/2, где Хо = я/2 - во - угол скольжения пучка.
Для смещения максимума огибающей падающего пучка npHz = 0 по отношению к
положению максимума прн z = h аналогично (13.41) можно получить
Дл(<7о) = Щ1 -л2)1/2Дд/(<го)/(2т).
В подробном анализе результата (13.41) нет необходимости, поскольку прн
скользящем падении величина Дм(4о)/Д(<7о) имеет в точности ту же
функциональную зависимость от и2, как от -и1, прн падении под углом в0,
близком к 6, когда 0 < в0 - 6 (см. (13.18)). Отметим, что при скользящем
падении угловая шнрнна переходной области к результату классической
теории существенно больше, чем прн падении вблнзн критического угла
полного отражения: Дх - (kw)~l>2 вместо Д8 - (Лги")'1, Прн и2 > 1, когда
функцию параболического цилиндра можно заменить
293
ее асимптотикой, формула (13.41) дает Дм = Д. Интересно, что одновременно
ДЛ переходит в геометроакустический результат Дй = h ctg0o-Перейдем к
анализу смещения ''центра тяжести" пучка. Учитывая вещественность
коэффициента отражения V(g) при q > 1 и считая kw{q0 - п) > 1, из общей
формулы (13.23) получаем
Дифракция пучка при распространении сказывается лишь иа знаменателе в
правой части (13.42). С ростом h смещение монотонно возрастает, поскольку
уменьшается вклад в полную интенсивность пучка иа границе раздела
неоднородных волн, не испытывающих смещения при отражении.
Будем считать, что спектр падающего пучка на самой отражающей границе
дается выражением (13.13), т.е. положим Л = 0. Выкладки в этом случае
только обозначениями отличаются от приведенных в п. 13.2 и дают
равномерную по углу падения асимптотику для Дг (t?0), совпадающую с
(13.41) при замене и>иа 21/2 w.
Рассмотрим отражение волнового пучка от Гранины раздела сред с близкими
значениями скорости звука. Показатель преломления п " 1. Этот случай
наиболее труден для аналитического рассмотрения, поскольку происходит
сближение особых точек q = п н q *= 1 коэффициента отражения. В
зависимости от значения параметра Q = kw | 1 - п | возможны три
существенно различные ситуации: Q> 1, (? < 1, (? - 1.
Если Q ^ 1, то для любого угла падения выполнено одно из неравенств,
J:w(l - q0) ^ 1 или kw \п - q0 \ > 1, позволяющее воспользоваться
полученными выше результатами. При п & 1 коэффициент отражения изменяется
быстро: | V'(qo)!V{qQ) \ > 1 и, согласно (13.18), (13.26) и (13.41),
смещение пучка при отражении может быть по величине сопоставимо с w.
Когда Q < 1, спектр пучка Ф(<?) в (13.42) можно считать медленно
меняющейся функцией по сравнению с функциями V(q) и Д(д) и разложить по
степеням (1 - q). Тогда, принимая во внимание значения интегралов
вычисляемых по явным формулам (2.27) и (2.34), получаем из (13.42)
1
Дс("о)=[ЛФ(<г)12Д (")*?]/[ / 1Ф(")К(<?)|2 х
п
X ехр(- 2kh Im\/l - q2)dq].
(13.42)
п п m +1
16m2(l - n)/m2 + 1
(m2 -1)г U2 - 1
{¦
Inm- l)[l +0(| l-n|)J,
(13.44)
(13.45)
294
Для простоты считаем здесь h = 0. Если отношение плотностей сред т не
близко к единице, а спектр Ф(<?) является непрерывно дифференцируемым, то
относительная погрешность формулы (13.45) составляет 0(Q2). При т " 1
оценка знаменателя, использованная в (13.45), справедлива только для
умеренных значений fcw(i - q0). Тогда нз (13.45) следует Дс(<7о) =
Зя/[4^(1 - ")] > w. При Ar>v(l - qo) ^ 1 по мере уменьшения Ф(1) в
знаменателе формулы (13.42) становится существенным вклад участка области
интегрирования q " q0, далекого от q = 1, н величина Дс (qо) спадает до
нуля.
Расчет огибающей отраженного пучка и смещения ее максимума можно провести
методом, использованным в п. 12.5 в случае отражения сферической волны.
Он основан иа разложении коэффициента отражения по степеням (1 - и). В
