Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
(20.6) принимает вид
где av-v в первой сумме — частоты перехода между колебательными состояниями ядер, принадлежащими наинизшему электронному уровню. В последней формуле оператор дипольного момента является функцией М(х, X) как электронных, так и ядер-ных координат, и матричные элементы должны быть образованы с помощью полных волновых функций вида (20.1). Однако в соответствии с (20.3) мы непосредственно убеждаемся, что первая сумма в (20.7) может быть написана следующим образом:
где матричные элементы должны быть теперь образованы с помощью колебательных волновых функций ХоА^) ядер. Сравнивая эту формулу с (19.17), мы видим : в том, что касается этой части (20.7), система ведет себя как чисто ядерная, причем оператор дипольного момента равен ЩХ), а волновыми функциями и собственными значениями энергии для ядерного движения являются те, которые отвечают наинизшему электронному уровню. Выражение (20.8) обычно называют ионной частью поляризуемости.
Что касается остающейся части (20.7), то рассмотрим типичный член
_ J_ „I < О V \ Ма [ О у" > < О V" \ Мр \ О V >
Л | Oij)” v' “1“ ^
!>• v
. <о^| ма jOt/'Xo*/' [мс! о®'> ) .
н------ -------” ——---------- +
+
2 < о У j Ma 1 n" v" > < n" v" I Mp ! О V' >
con* о -j- со
+
J < О У \ Mp I n" v" > < n" у" \ Ma \ О v' >
(20.7)
(20.8)
v <0 v | Ma | n" v" > < n" v" | Mp ! 0 v' >
Шп- Q + 0)
(20.9)
236
Глава 4. Квантовомеханическое обоснование
Выражая матричные элементы явно, можно переписать (20.9) в следующем виде :
2$dxlSdx$dx'$dx'№>х)xt-Wма(x,x)<pn.(x,x) x
у*
x (X) <p*. (x', X') (X') Мр (X', X') <p0 (x\ X') Zo„. (*')}¦ (20.10)
Поскольку величины Xn~v\X) для различных значений v" (при фиксированном значении п ) образуют полный набор функций по X, имеем соотношение полноты
l'Xn-v (*) X*. (ХО = д(Х-Х'). (20.11)
V’
Используя это соотношение в (20.10) и выполняя интегрирование по X', приводим (20.10) к виду
IrfxIdx' IdX К (*> X) /*,. (X) Ma (х, X)vn. (х, X) <р*. (х’,Х) х
X М„ (х',Х) <р0 (х', X)Xov-(X)} =
= j (A’) {К-0 + w)-1 j <P*0 (x,X) Afa (x, X) (x, X) dx x
X j tp*. (x', X) (x', X) (p0 (x', X) dx'} xo* (Ю dX . (20.12)
Выражая таким образом все члены второй суммы в (20.7) и сопоставляя с (20.4), найдем, что эта часть поляризуемости является просто матричным элементом функции Рар(со, X), образованным с помощью колебательных волновых функций ХоАх) И Хо«(х)> т- е-
<у\Ра/)(со,Х)\у'У (20.13)
Эта величина носит название электронной части поляризуемости.
Вклады ионной части (20.8) и электронной части (20.13) в статическую поляризуемость (у' — v, « = 0) для ионных кристаллов имеют, грубо, одинаковый порядок величины. Следовательно, при | со | §> со;,,.» величина (20.8) становится очень малой по сравнению с (20.13), и ею можно пренебречь. На опыте частота падающего света, используемого при измерении рамановского рассеяния, всегда велика по сравнению с частотами переходов aL.v-между колебательными состояниями. Следовательно, для практических целей можно опустить ионную часть при рассмотрении поляризуемости перехода, так что мы имеем
р% И = < w; Рч К X) \ V' > (V ф V') (20.14)
Подставляяэто выражение в (19.18) и (19.19), получаем для «угловой» и полной интенсивности рамановского рассеяния соответственно
§ 20. Приближение Плачена
237
следующие выражения:
<«_ ¦? 2 2<ne<v'\ К (". *)!« >
(v\P^(co,X)\v'}E-EidQ, (20.15)
4^3— 2<v'\ Р*у (Ы’Х) уУ<ь\ р<* К Ю I ^ > ?-7 Е, . (20.16)
С1)»А
Для получения экспериментально наблюдаемых интенсивностей мы должны усреднить эти выражения по «тепловому» распределению квантовых чисел v начальнрго состояния.
Складывая (20.8) с (20.13) и полагая v' = v, получаем следующее выражение для поляризуемости :
Р'иР (Ш) = < V I Pal3 (Ш, Ю \V > -f
¦ ivl (X)! tr_><В»I Mp(X) I V>
ti | ojii" it -4- w
V '
< о : Mp (X) I с» > < vr \ Ma (X) i v > | (2Q ~
CUv’V — O) j ¦ ' ¦ '
При рассмотрении преломляющих свойств в инфракрасной области электронная и ионная части сравнимы по величине, так что ни одной из них нельзя пренебречь. Однако поскольку | ш j в инфракрасной области мало по сравнению с электронными частотами переходов ып0, можно положить без большой ошибки и = 0в электронной части [см. выражение для Рар(со, X)]. Кроме того, если мы разложим Рар(ы, X) в ряд Тэйлора по X — Х°, то постоянный член оказывается гораздо более существенным, чем последующие члены [заметим, что это рассуждение неприменимо к М(Х), так как в ионную часть входят только недиагональные матричные элементы ЩХ), а в них постоянный член не дает вклада ]. Поэтому в инфракрасной области имеем приближенно
