Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
х1 = |! а\ + ?а\ + ?а\, Хг = Ра\ + Ра\ + Ра\,
х3 = 11 + +
(22.23)
э (х1; хг, ха) У ОМ2,^)
fli flf fl?
= \ a% a\ a\ = a! [a2a3] = va. (22.24)
'
248
Глава 5. Метод длинных волн
каждую точку решетки провести плоскость, параллельную заданной кристаллической плоскости, то все точки решетки разобьются на систему параллельных кристаллических плоскостей. Из взаимной эквивалентности точек решетки следует, что полученные таким образом плоскости эквидистантны. Такая система кристаллических плоскостей характеризуется индексами Миллера, которые определены следующим образом. Рассмотрим две точки решетки, отстоящие одна от другой на а1. Поскольку обе точки сами лежат на кристаллических плоскостях, соединительный вектор ах рассекается промежуточными плоскостями на некоторое число равных отрезков. Тогда число этих отрезков hr представляет собой первый индекс Миллера. Аналогично, рассматривая разбиение векторов а2, а3, получаем еще два индекса hv h3.
Набору кристаллических плоскостей можно сопоставить вектор обратной решетки, компонентами которого являются соответствующие индексы Миллера. Тогда уравнения, описывающие эти плоскости, могут быть непосредственно записаны в виде
х у (Л) = I1 hx -f- ?2 h2 + f3 h3 — целое число. (22.25)
Чтобы убедиться в правильности этих уравнений, заметим прежде всего, что плоскости (22.25) действительно содержат все точки решетки, так как каждый вектор решетки х(/), очевидно, удовлетворяет уравнению вида (22.25), причем соответствующее целое число в правой части равно
P^ + Plb + l'h,.
При переходе от точки решетки х(/) к точке х(/) + ах это целое число увеличивается на Л1. Это означает, что вторая точка находится на //j-ой плоскости, считая от первой точки, и, следовательно, соединительный вектор ах делится промежуточными плоскостями на hx отрезков. Из этого следует, что целые числа hv hv h3 действительно являются индексами Миллера.
Мы ввели решетку Бравэ, рассматривая базисные векторы как заданные. Обратная задача — определение базисных векторов для заданной решетки Бравэ — не имеет однозначного решения. В действительности, число различных способов выбора базисных векторов не ограничено. Так, рассмотрим любую кристаллическую плоскость в решетке Бравэ; точки решетки на этой плоскости образуют двумерную решетку. Если выбрать в качестве а1, а2 два базисных вектора этой двумерной решетки, то любой вектор, соединяющий точку решетки ка этой плоскости с точкой решетки на одной из двух соседних ей плоскостей, может быть выбран в качестве а3. Число таких способов выбора, очевидно, не ограничено. В общей теории кристаллов выбор базисных векторов обычно является несущественным. В специальных приложениях выбор их диктуется соображениями удобства.
§ 23. Модель бесконечной решетки и общие соотношения инвариантности 249
§ 23. Модель бесконечной решетки и общие соотношения инвариантности
В действительности мы, разумеется, всегда имеем дело с кристаллами конечных размеров. Однако неоднородные условия вблизи поверхности конечного кристалла вызывают только специфические поверхностные эффекты и несущественны при рассмотрении свойств кристалла в целом. Можно избежать излишних допущений об условиях на поверхности, если представить себе кристаллическую решетку бесконечно протяженной во всех направлениях.
Однако законность использования модели бесконечной решетки требует тщательного обоснования. Возьмем, например, условие равновесия. В предыдущей главе мы видели, что в молекулярной системе движение ядер должно описываться их смещениями относительно равновесной конфигурации, в которой ни на одно из ядер не действует сила. Для бесконечной решетки характерно, что для определения ее равновесной конфигурации недостаточно просто потребовать, чтобы каждое ядро находилось в равновесии. В действительности условие равновесия для бесконечной решетки заключается в следующих двух требованиях :
1) Каждое ядро находится в равновески.
2) Конфигурация соответствует напряжениям, равным нулю.
В необходимости требования 2 наряду с требованием 1 можно
убедиться следующим образом. Модель бесконечной решетки по существу есть идеализация условий внутри конечного кристалла, где непосредственным влиянием поверхности можно пренебречь. В случае конечного кристалла, у которого каждое ядро (включая ядра, расположенные вблизи поверхности) находится в равновесии, все напряжения автоматически обращаются в нуль во всем кристалле. Таким образом, для воспроизведения этого условия в модели бесконечной решетки должно выполняться требование 2. Чтобы убедиться, что оно не выполняется автоматически для бесконечной решетки, достаточно обратиться к линейной цепочке, рассмотренной в § 5. Мы видели, что пока частицы в цепочке расположены на равных расстояниях друг от друга, они находятся в равновесии ; тем не менее, в цепочке, вообще говоря, имеется натяжение. В этом частном примере требование 2 эквивалентно требованию обращения в нуль натяжения. Мы продолжим рассмотрение условия равновесия в последующих параграфах.
