Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Е; (0) “Ь f (0) “Ь h (<W -(- Аш) ,
ИЛИ
ш + Асо = ш + о)п>. (19.12)
С помощью этого соотношения можно теперь рассматривать рама-новское рассеяние, описывая электромагнитное поле классически, как и выше.
В этой полуклассической теории рамановское рассеяние точно так же, как и релеевское рассеяние, может быть описано с помощью индуцированного электрического момента. Последний получается путем рассмотрения электрического момента перехода между двумя состояниями, определяемого следующим образом:
^{w*mmfl + wrrnfm}dr.
(19.13)
§19. Релеевское и рамановское рассеяния света
231
Напишем в явном виде волновые функции и в присутствии электрического поля (18.13) с помощью (18.15), (18.19) и (18.21):
у, = 11„,(0) -I +
+* <0) Е>еШ ]) •
S, (0) + J 2 2 it (0) е; е<" +
+ "<ZU + lr> тЯО)^1-1]}. (19.14)
Подставляя эти волновые функции в (19.13) и пренебрегая членами второго порядка, получаем
Ма 4'l + 4'fMa4'm}dT = (m\Ma\l> в-^1 +
+ < I \Ма | т > е1”1»' +
j__\ ^ ^ ! М (] ; ^ ^ ^ ^ I Ма | / У „i(ai—ailm)t I
' А 2 2 1 Шгт — 01
? г 1
< т | Мр I /¦ > < Г i Ма I / > с-„-1(ш + Ш,..)( I
+ с^п + О. е +
< m I ма I г > < г I 1 / > Е_ g-,(lu + luij( ,
airi — ш Р
< m | Mg 1 <')<>' | Мр | /> Е, еЦш-ш„и)( I
ад + со р
j_____{ г | Ma I т ) gi(iu + iu,M)( _|_
airi — со Р
< / | М/j | г > < г | М„ | т > R.-,
+ адТ^ ^ +
, < / 1 Afg | г > < г | | m > Е-е-Цш ши,)1 ,
~т~ airm — 01 Р
I < /! Мд | г > < г | Мр \ т ) _ + лд 15)
_г сот + со Р J ’ \ '
где первые четыре члена в фигурных скобках происходят от первого члена левой части, а остальные четыре члена получаются просто перестановкой индексов I и т (заметим, что ami = — cuim).
Первые два члена в правой части (19.15) не зависят от электрического поля ; взятые вместе они дают дипольный момент, описывающий спонтанное испускание при переходе из более высокого из двух состояний I и т в более низкое. Остальные члены описывают
W* = eUn{0)th
xw
232
Глава 4. Квантовомеханическое обоснование
рамановское рассеяние, связанное с одним из двух переходов I -у т или т—у I. С помощью (19.12) мы легко можем отделить друг от друга члены соответствующих двух типов. Так, члены, описывающие рассеяние, связанное с переходом I —»-т, должны иметь частоту со + со[т и, следовательно, должны входить в (19.15) с временными множителями exp {i(co + colm)t} или exp {— i (со + Анало-
гично временные множители для рассеяния т -*¦ I должны быть теми же, что и предыдущие, но только с переставленными индексами, т. е. ехр {-? /' (со — coim)t\. Используя этот критерий, легко сообразить, что второй, третий, пятый и восьмой члены в фигурных скобках в (19.15) описывают рассеяние 1->т, а остальные члены описывают рассеяние т -у I. Далее, мы замечаем, что обе группы членов преобразуются одна в другую, если поменять местами индексы
I и т. Исходя из этого, можно непротиворечиво записать электрический момент, описывающий рамановское рассеяние, связанное с переходом I —у т, следующим образом :
т. (О = 2’ [Pip И]* EJ + v p‘jn (ш) щ еИш+Шы)1' (19 1б)
р р
где
Г>1т(г,Л 1 vf < 11 Ма ! г > < г ! Мр \ т >
Кр {>») - Тх 2. J +
^----(I ^ > Q) (! 9 ! 7)
Выражение (19.17) определяет (а ^-компоненту тензора, который можно назвать поляризуемостью перехода из состояния I в состояние т. Заметим, что если положить т = I, то (19.17) сводится к поляризуемости (18.24); последняя же, как мы видели, в свою очередь сводится к статической поляризуемости (18.10), если положить со = 0.
В отличие от релеевского рассеяния рамановское рассеяние некорректно. Помимо того, что рассеянное излучение обладает измененной частотой, поляризуемость перехода зависит от произвольных фаз волновых функций, с помощью которых образованы матричные элементы ; в практических расчетах мы должны производить усреднение по таким произвольным фазам. Таким образом, рамановское рассеяние от двух независимых молекулярных систем не подвержено эффекту интерференции.
Подставляя (19.16) в (19.8), найдем, что энергия, рассеиваемая (рамановское рассеяние) за единицу времени в телесный угол d Q, определяется выражением
