Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Силы, связывающие частицы в решетку, значительно различаются по своей природе у различных типов твердых тел. Однако, за исключением случая металлов, у которых электронные уровни бесконечно близки друг к другу, обычно применимо адиабатическое приближение. Поэтому мы будем формулировать общую теорию на основе адиабатического приближения, не делая других специальных допущений относительно сил. Таким путем можно получить целый ряд
250
Глава S. Метод длинных волн
общих результатов, справедливых для всех кристаллов, за исключением металлов.
Мы видели, что в адиабатическом приближении движение ядер и его влияние на электрические и оптические свойства характеризуются некоторыми функциями ядерных координат, а именно : эффективной потенциальной функцией и функциями М(Х) и Рар(со,Х). Совершенно независимо от специфических физических и геометрических характеристик, справедливых для конкретных решеток, эти функции подвержены ряду общих ограничений, вытекающих из определенных условий инвариантности. Эти условия инвариантности распадаются на два класса :
а) Основное свойство периодичности решетки равносильно условию, что при смещении всей решетки на вектор решетки х(1) решетка вновь совпадает сама с собой.
б) Физические величины преобразуются ковариантно (например, потенциальная энергия, электрический дипольный момент и поляризуемость —- как скаляр, вектор и тензор соответственно) при жестких смещениях решетки. Иными словами, физические величины инвариантны относительно любых смещений, если эти величины всегда относить к декартовым осям координат, одинаково ориентированным относительно кристалла.
В остальной части настоящего параграфа мы выведем эти условия в явном виде.
В предыдущей главе потенциальная функция, электрический момент М(Х) и поляризуемость РиГ,(ш, X) были представлены в виде рядов Тэйлора.
В следующей главе мы увидим, что пользоваться этими разложениями применительно к модели бесконечной решетки нужно с некоторой осторожностью, так как истинные значения перечисленных выше функций для всего кристалла бесконечны ; поэтому они должны быть, в конечном счете, нормированы па конечный объем. (Нельзя, однако, с самого начала рассматривать эти функции уже нормированными на единицу объема, так как это возможно только для вполне однородной конфигурации, а нам придется рассматривать конфигурации, в которых ядра смещены произвольно. Окончательная нормировка будет относиться к решетке, которая является однородной термодинамически, но не микроскопически.) Пока заметим лишь, что постоянные члены в вышеупомянутых рядах Тэйлора являются не имеющими смысла расходящимися величинами ; вместо них нам потребуются отнесенные к единице объема значения потенциальной энергии, электрического момента и поляризуемости для равновесных конфигураций. Если
о (I \
разложения производятся по степеням ядерных смещении и ,
tj 23. Модель бесконечной решетки и общие соотношения инвариантности 251
то коэффициенты этих разложений будут обозначаться следующим образом:
Фа
( ЭФ
д‘Ф
Мп
Ф.
( з Ма (X)
03 ф
3 Up
0 J. ’
Af.
32 Ma (X)
3 PaP (ш, X) 3uv ^
И т.д.,
3“'084U
ИТ. д.
(23.1)
В противоположность постоянным членам в разложениях эти коэффициенты являются вполне определенными конечными величинами.
Так,—) —сила, действующая на частицу Ц j в конфигурации 0 ;
— Фад — с точностью до первого порядка a-компонента действующей на частицу ( Q силы, обусловленной единичным смещением частицы (^,) в направлении /?, и т.д. Таким образом, в общей
теории физические свойства кристаллов описываются с помощью вышеприведенных коэффициентов и нормированных значений потенциальной функции, момента М(Х°) и поляризуемости Ра,?(ы, Х°) для равновесной конфигурации.
Условия инвариантности (стр. 250) налагают на коэффициенты
(23.1) некоторые тождественные соотношения, к выводу которых мы и перейдем.
Из требования периодичности непосредственно следует, что если прибавить один и тот лее набор целых чисел ко всем индексам ячейки в выражении некоторого коэффициента, то значение последнего не изменится. В самом деле, прибавление Is) эквивалентно
смещению всей решетки на вектор решетки х(/). Таким образом, коэффициенты первого порядка вообще не должны зависеть от индекса ячейки I, а коэффициенты более высоких порядков могут зависеть только от относительных индексов ячеек /— /', I—I" и т. д. Это обстоятельство можно выразить явно, используя еле-
252 Глава 5. Метод длинных волн
дующие измененные обозначения коэффициентов разложения :
¦.«-¦.р. *-га-*-ка-
<2М>
