Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Ь“а^ = 5ц,3 ^символ Кронекера <5^ = |°' „ ^ д) ¦ (22.8)
Вектор, имеющий размерность обратной длины, иногда описывается как принадлежащий обратнему пространству ; такой вектор может быть выражен через обратные базисные векторы :
У (П) = Vi Ь1 + Пг Ь2 + Пз Ь3 , (22.9)
где компоненты (rjv rj2, rj3) — безразмерные числа. Если эти компоненты целочисленны, то удобно пользоваться другим набором букв h(hv h.2, h3). Векторы у (/г) для всех возможных значений /г образуют в обратном пространстве решетку Бравэ, называемую обратной решеткой.
Компоненты векторов x(f) и у(т]) могут быть получены путем скалярного умножения последних на соответствующий дополнительный набор базисных векторов
246
Глава 5. Метод длинных волн
Ь“ х (|) = b“ (I1 Й1 + f2 а2 + f3 а3) = f “, (22.10)
аа У (»?) = аа (>?! Ь1 + Чв Ь2 + ч, Ь3) = ч„. (22.11)
Эти соотношения непосредственно следуют из (22.8). Аналогично с помощью (22.8) находим
* (?) У (п) = ^Ъ + Р Щ + ?3 % = (? П) ¦ (22.12)
Читатели, знакомые с тензорным исчислением, сообразят, что векторы а1, аа, а3 могут рассматриваться как набор ковариантных базисных векторов, а векторы Ь1, Ь2, Ь3 — как соответствующие контравариантные базисные векторы. Величины ?' и rjt являются соответственно контра- и ковариантными компонентами. Верхние и нижние индексы введены в каждом случае в соответствии с обычными обозначениями тензорного исчисления. С помощью базисных векторов можно образовать метрические коэффициенты
ga? = aaap, (22.13)
g“0 = b“ b?, (22.14)
gg = aeb Ч=Ь)- (22.15)
Используя эти коэффициенты, можно написать
x(f)x(f') = 2,ft.(jf“f'/'; (22.16)
a/J
y(v)y(-n') = 2'ga!,vav'ti- (22.17)
a/3
Из (22.12) следует, что скалярное произведение вектора решетки x(Z) и вектора обратной решетки у(h) является целым числом. Благодаря этому обстоятельству, как мы видели в § 6, векторы обратной решетки можно использовать для характеристики волн в решетке, удовлетворяющих периодическому граничному условию. В последующем изложении мы приведем и некоторые другие примеры использования векторов обратной решетки.
Заметим, что если }(Л) — вектор обратной решетки, то функция
ехр {2 л [у (Л) х} (22.18)
периодична по х (относительно а1( з2, а3), так как очевидно, что при добавлении к х вектора решетки x(Z) эта функция остается неизменной. В действительности функции (22.18), соответствующие веем возможным векторам обратной решетки, образуют полный набор функций, по которым можно разложить все такие периодические функции. Рассмотрим, таким образом, периодическую функцию /(х). Если пользоваться компонентами I1, |2, |3 вектора х в качестве аргументов, то функция /(?\ ?а, ?3), по определению, периодична
§ 22. Геометрия идеальных решеток
247
по всем трем переменным I1,I2, |3 с периодом, равным единице. Следовательно, ее можно разложить в ряд Фурье
Индексы (Л1( Л2, Л3) можно рассматривать как компоненты вектора обратной решетки у (Л). Тогда из (22.12) сразу следует, что (22.19) может быть также выражено непосредственно через вектор х
где va — объем ячейки решетки; dx —• элемент объема dxxdx^ix3. Множитель 1 /!;„ возникает за счет якобиана, вводимого при замене переменных интегрирования I1,12,I3 на х1; х2, х3. Действительно, обозначая декартовы компоненты базисных векторов значками вверху, имеем
Чтобы произвести переход от d f1 d I2 d I3 к dx = dx^dx^dx^ необходимо ввести якобиан Э(|1,12, |3)/Э(х1; х2, х3), являющийся обратной величиной от
Выражение (22.21) представляет собой наиболее удобный вид разложения Фурье для функции, обладающей периодичностью кристаллической решетки.
Любые три произвольно выбранные точки решетки Бравэ определяют кристаллическую плоскость. Поскольку все точки решетки Бравэ структурно эквивалентны, то эти три точки должны повторяться на плоскости неограниченное число раз; таким образом, кристаллическая плоскость в идеальной бесконечной решетке всегда должна содержать бесконечное число точек решетки. Если через
/ (?\ I2,13) = v g (Ai> Ав> Аз) einHhlSW+f,,:>); (22.19)
h
где коэффициенты равны
1 1 1
g фъ К Лз) = J d I1 j d I2 j d I3 {/ (I1,12, Is) е-2лг (*.p+*.s,+fc.iO}. (22.20)
0 0 0
/(x) = 2Tg(y) е2я'у<Л)х. h
Аналогично можно (22.20) привести к виду
(22.21)
(22.22)
по ячейке
