Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
= -^-{l\Mp\ry(r\Ma\l}d(w + wrl). (18.44)
Согласно условию (18.29), комплексно-сопряженное от Rlap{—a) должно равняться R!!p(a>). Следовательно, в интервале (18.43) /Н'Дш) равно комплексно-сопряженному от (18.44):
^-<l\Ma\ry{r\Mp\lyd(co + con). (18.45)
Складывая (18.45) с (18.41) и суммируя по всем возможным частотам перехода, получаем окончательно
R% (со) = IjL Щ {< /1 Ма | г > < г | Мр | / > <5 (со + со,,) -
— (l\Mp\ry(r\Ma\iyd(a> — а>п)}. (18.46)
Мы видим, что это выражение антиэрмитово, в согласии с первоначальным допущением (18.30).
Прибавляя (18.46) к (18.24), получаем тензор поляризуемости, учитывающий также и поглощение1). Полученное таким путем выражение для поляризуемости основано на определенных первых приближениях. Так, формула (18.24) основана на волновой функции первого приближения (18.15), а формула (18.46) — на первом приближении (18.38) для вероятности перехода. Поэтому эрмитова часть (18.24) остается неточной в непосредственной близости от частот перехода. Антиэрмитова же часть (18.46) не очень реалистично описывает зависимость от частоты. Дельта-функции в (18.46) при-
3) Легко видеть, что сумма величин (18.24) и (18.46) может быть получена из (18.24) путем замены (uri + и)-1 и (wr! — и)-1 на (ioTi -f- to)-1 -f- i пб (w,i -f- to) и (a,i — и)-1—I n 6 (aTi — ш) соответственно. Более глубокое понимание этого можно получить при рассмотрении оптических эффектов как столкновений атомов с фотонами, ср. [2].
i IS. Статическая поляризуемость и поляризуемость в переменных полях 227
водят к поглощению при строго определенных частотах ^ corh в то время как в действительности заметное поглощение имеет место в малой, но конечной окрестности частоты перехода. Иными словами, каждая из дельта-функций в (18.46) должна была бы быть заменена функцией от <о, имеющей заметную величину в малой окрестности соответствующего значения Однако нам
придется существенно пользоваться поляризуемостью только в тех случаях, когда частоты переходов настолько близки друг к другу, что образуют практически континуум. В таких случаях упомянутые выше неточности не особенно существенны благодаря следующим двум обстоятельствам. Во-первых, поскольку эрмитова часть (18.24) соответственно положительна и отрицательна непосредственно ниже и выше частоты перехода сог! (и непосредственно выше и ниже
— сог,), то неточности, возникающие за счет близко расположенных частот переходов, взаимно компенсируются. Во-вторых, хотя вид функций, которыми следовало бы заменить дельта-функции в (18.46), отличен от вида сингулярной дельта-функции, интегралы от них равны единице, как и для дельта-функции. Это обстоятельство делает возможным использование без значительной ошибки формулы (18.46) для непрерывного распределения частот переходов.
Уравнения Максвелла полностью описывают преломляющие свойства материальной среды, если известна связь между максвелловским вектором индукции и макроскопическим электрическим полем. Поскольку разность между вектором индукции и макроскопическим полем равна, по определению, умноженному на 4 л электрическому дипольному моменту единицы объема (диэлектрическая поляризация), то можно рассматривать преломляющие свойства с помощью поляризуемости. Иными словами, выражение для поляризуемости типа, полученного нами, дает основу для теории дисперсии. В этой связи, однако, следует иметь в виду следующие обстоятельства. Если рассматривается среда, состоящая из четко разделенных молекул, как это имеет место у газа, то для получения диэлектрической поляризации следует лишь разделить молекулярный момент, определяемый поляризуемостью, на средний объем, занимаемый молекулой. Однако поле, действующее на систему, вообще говоря, отличается от макроскопического поля (см. § 9). Этим отличием можно пренебречь только в случае очень малой плотности ; в противном случае необходимо сначала установить связь между макроскопическим полем и полем Е, действующим на молекулу. В случае кристаллических твердых тел весь кристалл образует единую молекулярную систему. Очевидно, мы не можем непосредственно применить к этой системе результаты, полученные выше. Так, если мы рассматриваем прохождение световой волны, то на протяжении размеров кристалла уместится много длин волн, и наше допущение
о постоянстве амплитуды поля Е- = (Е+)* будет уже неприменимо. То, что мы действительно хотим найти, — это не электрический
15*
228
Глава 4. Квантовомеханическое обоснование
момент всей системы, а связь между электрическим моментом малого элемента объема системы (малого по сравнению с длиной световой волны) и макроскопическим полем в том же самом месте. Одна из главных целей гл. 5 и состоит в том, чтобы показать, как подобный элемент объема может быть практически изолирован так, чтобы можно было пользоваться формулой выведенного выше вида для поляризуемости.
§ 19. Релеевское и рамановское рассеяния света
