Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
^o = ^rSP С°= 1.
3 nN
N ? 1 = 1
Ък = зш SPс" = ЗШ2SP(с(У')}к =
1=1
1 3 п N
= ЗТГЛГ 2 2 И (У')]к (Л = 1,2, 3, ...), (6.28)
j=ii=i
так что, по определению, р2к есть как раз момент порядка 2к функции распределения. Предполагая последовательность ЫУд} плотно распределенной, можно написать
2k— S/(v)dv '
Далее, поскольку частоты являются квадратными корнями из характеристических корней матрицы С, функция распределения f(v) является четной функцией v. Следовательно, если vm (vm > 0) обозначает наивысшую частоту, то пределы интегрирования в (6.29) могут быть выбраны от — vm до +vm> так что все моменты нечетного порядка /*гк+1 равны нулю. Следуя Монтроллю, выразим далее функцию распределения через моменты ц.гк. Пусть
/00= >’ (6-30)
где Рп — полиномы Лежандра от аргумента v/vm, так что коэффициенты ап равны
а =,*Ч±± 1
9
J f(xvm)Pn(x)dx. (6.31)
— 1
Если теперь положить
“»= I f(xvm)xkdx, (6.32)
§ 6. Спектр частот колебаний решетки и удельные теплоемкости 91
то
j / (>') vk dv
/>* = -%-------- = те(в-33)
j / (>0 d v
поскольку
| f(v)dv = 3n.
о
С помощью этих соотношений, помня, что все нечетные моменты равны нулю и что нечетные полиномы Лежандра содержат только нечетные степени х, легко находим
Oi = 03 = fl5 = ... = flak+i = 0 >
„ _ (6п)^о „ __ (6/1)5(3|42-n0v*m)
2 vm ’ fl2- - 4^ -
и вообще
= б п Щ)-, 2k+!vm [ dzu ~ ^2ft}z‘=о*»/»*) ’ ^б'34^
Таким образом, если известны величины fi, то функция распределения f(v) может быть получена в виде ряда по полиномам Лежандра. Поскольку величины /г можно определить с помощью (6.27), не решая уравнения (6.14) для частот, этот метод определения f(y) требует гораздо меньшего объема вычислений, чем численный метод. В этой связи заслуживает упоминания следующее : поскольку любая термодинамическая величина (как функция температуры) представляет собой, как правило, среднее по всем нормальным колебаниям, она может быть выражена1), как показал Монтролл, в виде ряда по моментам функции распределения, так что можно обойтись вообще без применения самой функции распределения. Поэтому такой метод может оказаться весьма полезным в тех случаях, когда указанные ряды быстро сходятся.
Монтролл [18] и Монтролл и Пизл [21] применили этот метод к нахождению распределения частот соответственно для одноатомных простых и объемноцентрированных кубических решеток при упрощающем предположении, что только ближайшие и вторые по близости соседние частицы взаимодействуют друг с другом. Матрицы С(у) для таких решеток являются .матрицами 3x3, и явные выражения для моментов могут быть выведены без труда. Упомянутые авторы определили коэффициенты а2к в разложении (6.30) вплоть
Такое разложение было впервые введено Тиррингом [19, 20].
92
Глава 2. Колебания решетки
до к = 5. Их результаты в общем согласуются с результатами Блэкмана [14, 15] и Файна [22], которые нашли функции распределения для обоих типов решеток численным методом.
Характерной чертой распределений частот для одноатомных кубических решеток является наличие у них двух максимумов : одного вблизи примерно vJ2 и другого вблизи верхнего предела частот vm. Имея в виду этот результат, Брениг и Шрёдер [23] недавно предложили выбирать /(v) с хорошим приближением в следующем виде :
f(v) = zD{v) + aEd{v — vE). (6.35)
Здесь 6 (v — vE) — 6-функция Дирака ; zD(v) — функция распределения Дебая ; обрезающая частота vc, однако, теперь несколько меньше дебаевской обрезающей частоты vD. Выражение (6.35) содержит три неизвестных параметра — аЕ, vE и vc. Приравнивая выражения для моментов /i2 и //4 распределения (6.35) соответствующим выражениям для этих моментов, полученным из (6.28), можно однозначно определить vc, vE и аЕ. Функция распределения типа (6.35), очевидно, более удобна для вычисления теплоемкостей и т. д., поскольку она представляет собой просто наложение «эйнштейновского» слагаемого на дебаевский спектр. Однако если в распределении частот появляется более чем два максимума, то приходится суперпонировать несколько эйнштейновских слагаемых с различными частотами vEl, vEt... . Определение различных констант vc; vEl, aEl ; vEt, аЕг; . . . оказывается в этом случае более сложным.
Монтролл [24] произвел также весьма подробное аналитическое исследование распределения частот двумерной квадратной решетки, которое дало ему возможность получить для f(v) замкнутые выражения, содержащие полные эллиптические интегралы для определенных значений констант взаимодействия. Значительный интерес представляет следующий теоретический результат, полученный в этом исследовании : оказывается, что f(v) имеет в этом случае логарифмические особенности (в отличие от особенностей, полученных Хаустоном, которые возникают вследствие приближенности применяемых расчетных методов, — эти особенности являются истинными). Этот результат был получен более простым методом ван Хоувом [25] и обобщен им на трехмерный случай. Мы остановимся здесь вкратце на этой работе.
