Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
§ 6. Спектр частот колебаний решетки и удельные теплоемкости 95
В противоположность описанным выше работам Блэкмана, Монтролля, Файна и др., в которых силы считаются короткодействующими, Лиддейн и Герцфельд [26] (NaCl), Келлерман [27, 28] (NaCl), Иона [29 ] (КС1) и Элен Смит [30 ] (алмаз) рассчитали распределения частот без предположения о короткодействии сил в кристаллах. Лиддейн и Герцфельд вычислили частоты только для сравнительно немногих изолированных значений у, из чего не может быть выведено распределение частот. Ниже мы приведем некоторые из результатов, которые получили Келлерман, Иона и Элен Смит ; эти расчеты наиболее точны из всех имеющихся. Для расчета распределения частот эти авторы пользовались численным методом Блэкмана.
В своих вычислениях для NaCl Келлерман рассматривает только силу перекрытия между ближайшими соседями; что касается кулоновского взаимодействия, то ионы считаются эквивалентными точечным зарядам. Сила перекрытия определяется с помощью наблюденных значений постоянной решетки и коэффициента сжимаемости в основном так же, как в § 3. Поскольку при колебаниях решетки ионы смещаются из своих симметричных положений, эффект поляризации ионов, которым Келлерман пренебрегает в своих расчетах, может быть весьма значителен ; в следующем параграфе мы получим некоторое представление о неточности, обусловленной этим. Силы взаимодействия точечных зарядов и силы перекрытия являются парными силами ; чтобы использовать общие формулы, приведенные ранее в настоящем параграфе, мы должны только заменить Ф суммой таких взаимодействий между всеми парами
ионов в решетке. После того как вычислены коэффициенты Са/з(^,} >
определенные формулой (6.15), частоты могут быть найдены из уравнения (6.14). Главную трудность в этом расчете представляет очень медленная сходимость ряда (6.15) для случая кулоновского взаимодействия. В § 30 мы увидим, как такие ряды могут быть преобразованы 60
в быстро сходящиеся выражения, удобные для практических вычислений. 5,0
Некоторые из результатов Келлер- 40
мана представлены графически на фиг. 9 11—-13. На фиг. 11 приведены частоты v 3,0
различных ветвей волн в решетке, 3
распространяющихся в направлении 2>°
любой из диагоналей куба. Поскольку jq
на каждую ячейку приходится по две частицы, должно было бы быть всего 0
шесть ветвей колебаний,соответствующих 3п решениям детерминантного уравнения (6.14). Однако благодаря симметрии
у=1/Л, единицы 0,1/го Фиг. И.
96
Глава 2. Колебания решетки
структуры NaCl все волны, распространяющиеся вдоль диагоналей куба, являются либо поперечными, либо продольными, причем все поперечные волны «двукратны» (в соответствии с двумя возможными независимыми направлениями их вектора поляризации). Акустические и оптические колебания легко различаются на
графике, так как «акустические» кривые проходят через начало координат.
На фиг. 12 представлена функция распределения частот, полученная описанным выше способом, а также для сравнения дано распределение частот, соответствующее модели Дебая (пунктирная линия).
Вычисленные и экспериментальные значения дебаевской температуры @л, приведенные на Фиг. 12. фИг. 13, получены тем же путем,
что и в линейном случае, — приравниванием формулы Дебая (4.26) вычисленным и экспериментальным значениям теплоемкости для различных температур.
Фиг. 13.
Расчеты, которые проделал Иона для КС1, в основном аналогичны. Он рассмотрел также силы перекрытия между вторыми по близости соседями ; эти силы определяются с помощью инфракрасной дисперсионной частоты (см. § 8 и 9) вместе с данными по упругости. Поскольку массы ионов К+ с С1“ не сильно отличаются друг от друга, Иона в своих расчетах принял их одинаковыми. Функция распределения частот и вычисленная кривая (0р, Т) представлены на фиг. 14 и 15 соответственно. Мы замечаем,' что дебаевское распределение (тонкая линия на фиг. 14) в данном случае гораздо ближе к распределению, рассчитанному по теории решетки. Дело в том, что, когда массы ионов одинаковы, решетка
§ 6. Спектр частот колебаний решетки и удельные теплоемкости 97
представляет собой нечто вроде «одноатомного» твердого тела с одним атомом в каждой ячейке ; оптические ветви колебаний плавно переходят в акустические, так что мы имеем как бы только три
V, 10 сек' Фиг. 14.
10 20 30 40
Т°К
50
60
7О
Фиг. 15.
акустические ветви, верхние половины которых соответствуют оптическим колебаниям. Такого рода «квазиакустические» ветви, очевидно, более близко апроксимируются моделью Дебая, чем это имеет место в более общем случае, когда оптические и акустические колебания образуют разделенные частотные полосы.
Ближайшие соседние частицы в решетке алмаза соединены валентными связями, для которых центральное взаимодействие не является адекватным приближением. Поэтому Элен Смит в своем рассмотрении решетки алмаза не делает никаких допущений отно-