Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
7 Макс Борн и Хуан Кунь
98
Глава 2. Колебания решетки
сительно вторых производных функции Ф, соответствующих двум ближайшим соседям. Она показывает, что все такие производные, с учетом симметрии структуры алмаза, зависят только от двух независимых постоянных. Она нашла, что, по данным экспериментов, кроме взаимодействия между ближайшими соседями, следует рассматривать также и взаимодействие между вторыми по близости соседями, которое она считает центральным. Таким образом, всего имеются три независимых константы, входящие в
9 .1
8 -
7 -
6 -
с-> г_
*7 о /
о
54
V
/ i'¦
/ :
1 у 1
гу р
/ Л Р
/АЛ\ А'!
/// / \ \ V Х|
ж/ / \
у=1/А, единицы 0,1/4 Фиг. 16.
1,0 2 О г.О -г,О
V, Ю,3СС‘С-'
Фиг. 17.
выражение потенциала в ее рассмотрении ; эти константы определяются с помощью рамановской частоты и постоянных упругости.
На фиг. 16 даны частоты волн, распространяющихся в направлении любой из диагоналей куба ; как и в случае NaCl, колебания могут быть либо поперечными, либо продольными, причем первые из них являются «двукратными». Следует особо отметить одно из различий между кривыми фиг. 16 для алмаза и фиг. 11 для NaCl — у решетки алмаза все оптические ветви стремятся к одному и тому же пределу при К-*- °о, тогда как у решетки NaCl поперечные и продольные колебания стремятся к различным пределам. Как мы увидим в следующем параграфе, это различие обусловлено тем, что благодаря ионному характеру решетки NaCl в ней имеется электрическое поле, связанное с продольными колебаниями и увеличивающее колебательные частоты. На фиг. 17 дана функция распре-
§ 7. Длинноволн. колебания решетки, принадл. к оптическим ветвям 99
деления частот, а на фиг. 18 — вычисленная кривая и экспериментальные значения для дебаевской температуры 6D как функции температуры.
Фиг. 18.
Мы видим, что во всех случаях на кривой (0D, Т) имеется предсказанный Блэкманом минимум, обусловливающий появление ложной области Cv оо Т3. Вычисленные значения 0D на графиках указывают также на то, что истинная область Т3 очень узка и проявляется на этих графиках просто в виде горизонтального подхода кривой 0D к оси 7 = 0. Клузиус [31 ] произвел многочисленные измерения теплоемкости при низких температурах для семи щелочногалоидных соединений ; он сообщает, что ни в одном из рассмотренных случаев он не смог достичь истинной области Т3, хотя и получил некоторые указания на ее существование.
§ 7. Длинноволновые колебания решетки, принадлежащие к оптическим ветвям
Мы убедились, что длинноволновые акустические колебания решетки идентичны упругим волнам ; последние, разумеется, получаются из макроскопических уравнений теории упругости. Равным образом и оптические колебания решетки с большими длинами волн могут быть рассмотрены на макроскопической о'снове [32, 33]. Такие оптические колебания существенны главным образом в ионных кристаллах благодаря большим электрическим моментам, связанным с движением ионов. Макроскопическая теория особенно проста для двухатомных кристаллов, обладающих оптической изотропией. К этой категории относится большинство обычно рассматриваемых простых ионных кристаллов (структуры NaCl, CsCl, ZnS). Ниже мы подробно рассмотрим этот случай.
7*
100 Глава 2. Колебания решетки
Напомним, что в примере с линейной цепочкой в макроскопически малом отрезке при оптических колебаниях атомы одного типа перемещаются как целое относительно атомов другого типа в противоположность длинноволновым акустическим колебаниям, когда атомы в таком же отрезке движутся практически в унисон. Таким образом, для описания длинноволновых оптических колебаний необходим параметр, характеризующий смещение положительных ионов относительно отрицательных. Для упругого движения эффективная инертная масса единицы объема равна плотности. С другой стороны, для движения оптического типа соответствующая масса равна приведенной массе положительного и отрицательного ионов М = {М+М-1(М+ -)- М-)}, деленной на объем ячейки решетки. Оказывается, что наиболее удобным параметром для описания движения оптического типа является смещение положительных ионов по отношению к отрицательным, умноженное на квадратный корень из указанной эффективной массы единицы
объема ; обозначим этот параметр через w. Для рассматриваемых
двухатомных ионных кристаллов макроскопическая теория полностью содержится в следующей паре уравнений [32, 33 ] :
w = bnvi + b12E, (7.1)
Р = b21 w + Ь22Е, (7.2)
где Р и Е — диэлектрическая поляризация и напряженность электрического поля, определяемые, как обычно, в теории Максвелла. Точная интерпретация отдельных членов в этих уравнениях станет ясной, когда мы выведем уравнения такого вида исходя из специальной микроскопической модели (см. § 9); здесь же мы .можем рассматривать эти уравнения как чисто феноменологические.
