Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Если бы теория континуума представляла собой приближение, справедливое при всех температурах, то величина QD изображалась бы на графике горизонтальной прямой, соответствующей значению
(6.11). Что касается действительных кривых фиг. 8, то мы отметим, в частности, следующие их черты :
1) Величина &D далеко не независима от температуры и обнаруживает явно выраженные изменения при низких температурах.
2) Хотя &D и стремится к более или менее постоянному значению при высоких температурах, это значение сильно отличается от низкотемпературного предельного значения для Т = 0, равного
(6.11). Сказанное означает, что, хотя применение формулы Дебая с должным образом выбранным значением параметра &D позволяет удовлетворительно описать ход теплоемкости при сравнительно высоких температурах, это не обязательно является подтверждением идеи о том, что колебания решетки могут быть подходящим образом заменены упругими волнами ; применяемая в этом смысле формула Дебая по своему значению оказывается в значительной мере эвристической.
3) Легко увидеть из (6.10), что аналогом закона Т3 в рассматриваемом линейном случае является линейный закон Cv со Т. Область применимости этого предельного закона должна изображаться на графике как область постоянства 0D, непосредственно примыкающая к Т = 0. Представленные кривые показывают, что эта область чрезвычайно узка и едва различима в виде горизонтальной касательной при Т = 0.
4) Кривая (m'/m) = 3 имеет минимум, где величина QD стационарна. Если соответствующая температура достаточно низка по сравнению с 0D, так что Еерхний предел интеграла в формуле Дебая можно положить равным оо, то мы получаем в окрестности минимума «ложное» изменение по закону Т3, совершенно не связанное с истинной областью Т3 вблизи Т = 0. Оказывается, что минимум такого типа всегда возникает на кривых для реальных кристаллов ; он, очевидно, связан с экспериментально подтвержденной областью Т3.
Как мы увидим, все вышеупомянутые черты сохраняются и в реальных трехмерных случаях, но только в менее резко выраженном виде.
Общие черты колебаний решеток в трехмерном случае весьма сходны с линейным случаем. В гл. 5 будет показано, что уравнения движения могут быть составлены в весьма общем виде без каких-либо предположений о силах взаимодействия и, сверх того, могут
6*
84
Глава 2. Колебания решетки
быть легко упрощены. Для нашей цели нам сейчас достаточно лишь привести результаты, которые там будут установлены.
Рассмотрим структуру решетки общего типа с п частицами в каждой ячейке. Мы будем различать отдельные частицы в одной и той же ячейке с помощью индекса k= 1,2, ..., п. Выбрав в качестве начала отсчета произвольную ячейку, можно перенумеровать различные ячейки тройным индексом решетки 1 (Z1,12,13) точно так же, как и в случае простых решеток, рассмотренных в § 3. Таким образом, частица в решетке общего типа характеризуется индексами I и к.
Если представить полную потенциальную энергию Ф решетки как функцию смещений частиц решетки относительно их положений равновесия, то можно образовать ее производные по компонентам
смещений частиц иа ^ j [последняя величина есть а-компонента
вектора смещения частицы ( * j; а = 1, 2, 3]. Характер малых колебаний решетки определяется вторыми производными
эгФ
= Ф,
И ¦
(6.12)
Символ в правой части введен отчасти для простоты, а отчасти
(и это более важно) потому, что он выражает тот факт, что вторая
производная зависит только от относительного индекса ячеек
I — 1'г но не от каждого из индексов I и I' в отдельности (см. § 23).
Если обозначить радиус-вектор частицы ^ j в равновесной конфигурации решетки через х ^ j, то комплексные решения уравнений движения будут иметь следующий вид :
u(') = и0 (/с) ехр [2яг у ¦ х ] - ia>t], (6.13)
где и0 (к) — постоянный вектор, зависящий только от к. Для заданного у циклическая частота со = 2 л v определяется из следующего детерминантного уравнения :
| С"? (/fc') “ ш*&кк' даР \ = 0 ’ 14)
где Сар определено равенством
§ б. Спектр частот колебаний решетки и удельные теплоемкости 85
И = Wnw? Ф* Щ ехр j- 2л i у ¦ [х (Д - х (°)]}. (6.15)
Здесь суммирование производится по всем целочисленным значениям l\ I2,I3; тк, тк- — массы частиц ; бкк-, 5afl в (6.14) — символы Кронекера, т. е.
{1 *' = /
'"“(о 1ФГ <6Л6>
Если расположить пару индексов (а, к) в последовательности
(1,1), (2,1), (3,1), (1,2), . . ., (1, п), (2, п), (3, п), то совокупность элементов Caf> j может быть представлена в виде квадратной матрицы
си(п) Мп ) Cl3 (и) ¦ .СП(*] С12(*,)
с«1-(п) Сг2(п ) Сгз (и)
С31 (ц) ¦ ¦
Сз1 (п l) ¦ ¦ .......C“U)J
Левая часть уравнения (6.14) представляет собой просто краткое обозначение характеристического (или векового) определителя вышеприведенной матрицы.
