Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим функцию распределения fj(y) для /-ой ветви нормальных колебаний. Имеем
/(„) = yfj(v). j=i
Тогда интеграл, соответствующий /у(г>) в правой части (6.24), очевидно, представляет объем, заключенный между двумя соседними
§ б. Спектр частот колебаний решетки и удельные теплоемкости 93
поверхностями vj(yv уа, у3) = v и vj (у1; у2, у3) = v + A v. Следовательно, если dS —элемент площади на поверхности vj(yv у2, у3) = v, а А п — элемент нормали к этой поверхности в точке dS, то /у(г) может быть записано как1)
№-?“”^7 Я <Ы6>
г^.*(У1,У„Уг)
Далее, имеем
A v = grad v (ух, у2,у3)Ау = ^-АУ1 + ^Ау2 + -^-А у3 (6.37) и
A v dv А уг ! 9v А уг } 3v А у3
Ап 3 ух А п ' дуг А п ду3 Ап'
Но величины^! yJA п,А yJA п,А y3jA п в пределе A v или А п-> О представляют собой направляющие косинусы нормали к поверхности v(yv у2, у3) = V. Поскольку последние пропорциональны 8 v/Э ух, Э v/Q у2 и Э v/Эу3, имеем
d л 1
dv ( dv ^2 f dv ^|2 /¦ 3»
Г tayj + UyJ + t
(6.38)
Таким образом, (6.36) принимает вид
V г г
(,) = ' — ______ . (6.39)
11 W ^ J J ]//' э» 'I2 ( dv Y r dv ^2
Г UyJ + UyJ + 13Уз )
Для двумерного случая fj(v), очевидно, равно
/, (»)=-?- Г у ds- , (6.40)
lj К J -I/ , dv \2 f dv у ’
Г UyJ + UyJ
где ds — элемент дуги кривой r(y1, у2) = v.
Выяснение аналитических особенностей в распределении частот fj(v) для каждой отдельной ветви / теперь уже несложно. Эти особенности, очевидно, возникают в «критических» точках, в которых обращаются в нуль все производные Qv/Qуа. Можно допустить, что в этих точках детерминант
! 02»
3 Уа 3 УД
Ф о,
поскольку равенство его нулю могло бы иметь место только при некоторых специальных значениях динамических постоянных. Это
*) Для удобства индекс / при функции vj в последующих формулах будет опущен.
94
Глава 2. Колебания решетки
означает, что критические точки изолированы, и потому число их конечно. В окрестности любой критической точки vc имеется разло^ жение v в ряд, не содержащий линейных членов; если этот ряд оборвать на квадратичном члене, то производные 9v/9ya будут линейны относительно у„, и вычисление интеграла /;(v) можно произвести элементарными методами. При этом получается следующий результат : для двумерного кристалла имеется конечный разрыв непрерывности (скачок) на кривой /Дv) у каждого ее максимума (скачок вниз) и у каждого минимума (скачок вверх), а также логарифмический пик типа —lg | 1—(v/vc) I в седловой точке [т. е. когда v = vc -f а (у|— yf) ]. Для трехмерной решетки функция /;(v) непрерывна в максимуме или минимуме, но направление касательной испытывает разрыв типа
j(vc — v)'‘ при V<_VC
fj iv) ~ | q ПрИ v^>vc
в случае максимума и наоборот — в случае минимума. Поведение функции в седловых точках аналогично тому, которое имеет место в случае двумерной решетки.
Таким образом, рассмотренные особенности носят довольно «безобидный» характер и не нарушают справедливости численных расчетов. Далее, можно показать [25 ], что вследствие периодичности решетки для каждой ветви должен существовать целый ряд критических точек, хотя и их число различно для акустических и оптических ветвей1).
!) Развитые здесь методы существенно базируются на предположении об идеальной периодичности решетки. Важным случаем, где такое предположение не имеет места; являются неупорядоченные структуры (твердые растворы, смеси изотопов). В математическом отношении уравнение колебаний атомов решетки является в этом случае уравнением со случайными коэффициентами ; распределение вероятностей определяется концентрациями компонент и состоянием раствора. Спектр частот подобных систем рассмотрен в следующих работах: Лифшиц И. М., ЖЭТФ, 12, 117 (1942); ЖЭТФ, 17, 1017 (1947); Успехи Матем. Наук, 7, 170 (1952); JI и ф ш и ц И. М., Степанова Г. И., ЖЭТФ, 30,938 (1956); Dyson F. J., Phys. Re v., 92, 1331 (1953); Лифшиц И. М., Nutivo Cimento, 3, 716, Suppl. 4 (1956). Качественно его характер совпадает со спектром идеальных решеток ; однако разделение на 3п ветвей (для п-атомной решетки) в общем случае не имеет места. Отдельные нормальные колебания уже не описываются плоскими волнами. По мере упорядочения твердого раствора спектр колебаний приближается к описанному в тексте и в предельном случае полностью упорядоченного раствора совпадает с ним.
При малых концентрациях вблизи атома примеси или дефекта решетки могут возникнуть локальные колебания (не распространяющиеся вдоль кристалла), частота которых не входит в область непрерывного спектра. Такие дефекты являются рассеивающими центрами для упругих волн, распространяющихся в кристалле. Картина рассеяния, однако, в этом случае крайне своеобразна в связи со сложной зависимостью частоты со от волнового вектора у [см. Лифшиц И. М., ЖЭТФ, 18, 293 (1948); K.oster Q. F., Slater J. С.
