Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Прежде всего следует ожидать, что любое расхождение между теорией Дебая и экспериментальными данными должно сильнее всего проявляться при сравнительно низких температурах. Дело в том, что теплоемкости при высоких температурах нечувствительны к характеру распределения частот. Например, мы убедились, что весьма различные между собой модели Эйнштейна и Дебая дают значения теплоемкости, не различающиеся сколько-нибудь существенно нигде, кроме области низких температур. С другой стороны, следует ожидать, что теория Дебая строго справедлива в предельном случае самых низких температур. При этих температурах преобладающий вклад в теплоемкость дают колебания с самыми низкими частотами. Это непосредственно видно из выражения (4.17) для модели Эйнштейна ; формула эта показывает, что теплоемкость, обусловленная колебаниями с частотой v, быстро спадает с понижением температуры как
при низких температурах, таких, что кТ <4. hv. На примере линейной цепочки мы видели, что самые низкие частоты колебаний отвечают длинным акустическим волнам, которые идентичны упругим волнам, фигурирующим в модели Дебая. Это справедливо, как правило, и для любого трехмерного кристалла (см. § 26 и 27). Из сказанного следует, что теория Дебая должна правильно описывать теплоемкость в предельном случае самых низких температур. Блэкман, по существу, показал, что непосредственно над этим крайним пределом имеется область низких температур, в которой на основании теории решетки следует ожидать значительных отклонений теплоемкости от ее дебаевских значений, что и подтверждается некоторыми экспериментальными данными.
Если мы обратимся к выражению Дебая (4.26) для теплоемкости, то увидим, что при Т <^&D интеграл очень близок к предельному значению
Г Petdi
J (ef — l)2
о
и мы, таким образом, имеем приближенно
(6.1)
Это известный закон Т3, утверждающий, что при очень низких температурах теплоемкость изменяется как третья степень абсолютной температуры.
§ б. Спектр частот колебаний решетки и удельные теплоемкости 79
Из вышеприведенных рассуждений следует, что закон Т3 должен строго выполняться при достаточно низких температурах. Правда, выражение (4.26) было выведено в специальных предположениях упругой изотропии и единственной обрезающей частоты vm = k @D/h для спектра колебаний кристалла ; но можно легко показать, что выражение (6.1) для Cv при очень низких температурах не зависит ни от одного из этих предположений, если &D выбрано в соответствии с (4.36) и условием нормировки (4.24). Рассмотрим анизотропную упругую среду. Тогда все три типа упругих волн для заданного вектора волнового числа у (уже не являющихся либо поперечными, либо продольными) имеют, Еообще говоря, различные фазовые скорости с,(0, ср) (i = 1, 2, 3), которые, кроме того, являются функциями направления у, определяемого здесь полярными углами 0, ср. Рассмотрим вначале упругие волны некоторого конкретного типа i, направления распространения которых лежат внутри бесконечно малого телесного угла sin в d в d <р = d а. Для куска кристалла, имеющего объем V, число частот в интервале v, v + d v равно, очевидно, объему элемента у-пространства, умноженному на V, т. е.
„ , , , ,, v*dvd со
V у2 d у da) = V —ттд—г- .
' 7 cj (9, <р)
Если предположить, что спектр колебаний обрезан на некотором максимальном значении | у |тах безотносительно к направлению распространения, то вклад в теплоемкость тех колебаний типа i, векторы распространения которых у лежат внутри телесного угла da, выражается величиной
в, (в, у)1Т
<|y|»«mx(-^)i» J iSf, (ад
О
где мы положили для удобства
f = yf И С, (в, <р) X I у |тах = \ 0, (в,<р) .
При очень низких температурах Т 0,(0, ср) можно заменить, как и прежде, верхний предел интеграла в (6.2) на оо. Тогда (6.2) принимает вид
( i У [шах)3 Vk X (-0i (0;^j-) det) X
4 л1
“ПГ
Суммируя по всем трем типам волн и имея в виду, что
80
Глава 2. Колебания решетки
получаем для полной теплоемкости моля выражение
п 12 Nn к Ф 1
Су = — 5----------
где
“ (*) п 9 I ^ с) (в, q>) dw¦ М
Легко убедиться, что 0, определенное равенством (6.3), совпадает с 0D, если 0D определено равенствами (4.36) и (4.27), как это действительно было сделано при выводе (6.1).
Экспериментально установлено, что величина Cv/T3 принимает грубо постоянное значение для большого числа веществ при понижении температуры до значений порядка 10—50° К- Поэтому соответствующие температуры интерпретировались как начало области низких температур, в которой строго выполняется закон Т3. Блэкман [12] показал, однако, что это не так; экспериментально подтвержденные изменения теплоемкости, как Т3, в действительности обманчивы и не соответствуют низкотемпературному пределу, который лежит гораздо ниже и обычно простирается не более чем на несколько градусов над абсолютным нулем температур1).
