Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение(6.14)является уравнением степениЗпотносительно ы2. Как и ранее, можно ограничиться рассмотрением положительных частот ; таким образом, это уравнение дает 3п частот. Для каждой из этих частот мы имеем отдельное решение вида (6.13); обсуждение способа определения векторов поляризации и°(к) пока не" вызывается необходимостью. Построение вещественных решений такое же, как и в линейном случае, и при данном у мы получаем ровно одну вещественную бегущую волну для каждой из Зп частот, определяемых уравнением (6.14).
Точно так же, как и в случае линейной цепочки, не все значения у соответствуют взаимно независимым решениям. В этом легче всего убедиться следующим образом : положим
х (J) = х (I) + х (к); здесь x(Z) — вектор решетки
х (0 = Ра1 + I2 а2 + /3 а3,
(6.17)
86
Глава 2. Колебания решетки
где а1( а2, а3 — базисные векторы, образующие ребра ячеек. Поскольку х(к) не зависит от индекса /, (6.13) выражает последовательное изменение фазы движения от ячейки к ячейке, описываемое множителем
e*.iy*(0. (6 18)
Заметим, что обратные базисные векторы, определяемые равенствами
hi _ ^а- 1)2 __ _[®3ail _ h3 = ___________ Cfi IQ}
I ai [a2 a3] | ’ i az [a3 aj ’ ! a3 [ax aa] | ' '
обладают тем свойством, что их скалярные произведения с базисными векторами а1( а2, а3 равны либо единице, либо нулю, согласно следующему правилу :
blUj = d,j. (6.20)
Определим обратную решетку в у-пространстве, построенную на
обратных базисных векторах ; так, вектор обратной решетки имеет
вид
у (Л) = Ь1 + Л2 Ь2 + Л3 ЬЗ, (6.21)
где h (ftlf h2, h3) — целые числа. Непосредственно из (6.20) следует, что скалярное произведение вектора решетки и вектора обратной решетки равно целому числу
х (Z) у (Л) = Z1 /zi + Z2 Л2 + Z3 Л3 - (6.22)
Следовательно, если прибавить к у любой вектор обратной решетки у (Л), то это не повлияет на фазовый множитель (6.18.) Таким образом, все различные решения (6.13) будут учтены, если мы ограничим значения у одной ячейкой обратной решетки в у-пространстве, ибо для любой точки вне этой ячейки существует точка внутри ячейки, связанная с ней вектором обратной решетки.
Не всегда, однако, необходимо выбирать для ограничения значений у ячейку обратной решетки ; в действительности для практического рассмотрения часто оказывается удобнее выбрать эквивалентную область в у-пространстве, имеющую тот же объем, что и обратная ячейка, но обладающую большей геометрической симметрией. Единственный критерий, который должен быть при этом удовлетворен, состоит в том, чтобы никакие две точки выбранной области не были связаны вектором обратной решетки. Это замечание мы проиллюстрируем на примере гексагональной сетки (фиг. 9). Наиболее простой выбор базисных векторов а1, а2 не выявляет гексагональной симметрии. Аналогичным образом обратная решетка (фиг. 10) также представляет собой гексагональную сетку; при этом гексагональная симметрия не выявляется ячейкой обратной
§ 6. Спектр частот колебаний решетки и удельные теплоемкости 87
решетки (заштрихованной). Более силшетричной областью является отмеченный на фиг. 10 шестиугольник с центром в узле решетки, ограниченный прямыми, которые делят пополам отрезки, соединяющие этот узел с его шестью соседями. Из фигуры непосредственно ясно, что эта область полностью эквивалентна обратной ячейке,
а,
и:
Фиг. 9. Гексагональная сетка.
Фиг. 10. Обратная решетка.
так как соответствующие части обратной ячейки и шестиугольной области, отмеченные одним и тем же числом со штрихом и без него, очевидно, связаны между собой векторами обратной решетки.
В § 4 мы видели, что для получения распределения частот можно пронормировать колебания на конечный объем V, налагая периодическое граничное условие. Это условие ограничивает изменение у определенными дискретными значениями, которые изображаются точками, равномерно распределенными в у-пространстве; плотность таких изображающих точек в у-пространстве строго постоянна и равна V. Заметим, что объем обратной ячейки равен
‘ аз] • [[а3 ai1 [aia2]] 1 _ i*i [а2а3] I3
Ь1 [Ь2 Ь3] | =
[а2
1
ai [а2 а3
_1_
va
(6.23)
так как (а^а^]) равно объему ячейки решетки. Умножая (6.23) на плотность изображающих точек V, получаем полное число значений у
Vx-- = N,
vtt
где N — число ячеек решетки в объеме V. Поскольку для каждого у имеются 3п вещественных волн, полное число нормальных колебаний равно
3 nN,
что в точности совпадает с полным числом степеней свободы частиц решетки, содержащихся в объеме V. Это обстоятельство подтверж-
88
Глава 2. Колебания решетки
