Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Выводы Блэкмана, основанные на полуколичественном рассмотрении, к настоящему времени подтверждены рядом расчетов, выполненных для реальных кристаллов. Следуя Блэкману, воспользуемся моделью линейной цепочки для схематического рассмотрения температурной зависимости теплоемкости и ее отклонения от получаемой в приближении упругого континуума ; впоследствии мы воспроизведем некоторые результаты расчетов, выполненных для реальных кристаллов.
Обозначим акустические и оптические частоты линейной цепочки через vlt v2; пользуясь формулами (5.9), можно написать
1
2 71
(т
т')^Ш
т т
Уг
1 Т
1 -
4 sin2 л г/
(1 +?)(¦+?)
¦ (6.4)
*) Отклонение от закона Т3 имеет ярко выраженный характер в особых случаях анизотропных структур — так называемых слоистых решетках (типа графита), где силы взаимодействия в плоскости слоя велики по сравнению с силами взаимодействия между слоями [см. работы: Тарасов В. В., ДАН СССР, 46, 22 (1945); ЖФХ, 24, 111 (1950); Лифшиц И. М., ЖЭТФ, 22, 475 (1952); Ицкевич Е. С., Канторович В. М., ЖЭТФ, 32,175 (1957)]. В этом случае существенную роль играют особые волны со специфическим законом дисперсии, аналогичные волнам изгиба в тонких пленках. Температурная зависимость теплоемкости в области низких температур разбивается при этом на несколько областей, границы которых определяются упругими модулями кристалла и коэффициентом «поперечной жесткости» слоя. — Прим. ред.
§ 6. Спектр частот колебаний решетки и удельные теплоемкости 81
Акустические колебания в интервале частот v, v + A v соответствуют значениям г\ внутри следующих попарных интервалов :
4,4 + Ari и -rj,-(!] +Arj),
где
Таким образом, из (5.18) следует, что для конечной цепочки из L ячеек в вышеуказанном интервале частот имеется
2 L A rj = 2 L Av
акустических колебаний ; множитель 2 учитывает «парность» интервалов значений г]. Аналогично находим, что величина
2L[^M A v
V d va /v,=v
дает число оптических колебаний в том же интервале частот. Итак, теплоемкость цепочки дается выражением
Cv = 2«J Ш,. + (?U'’- <6-5>
Как акустические, так и оптические частоты заключены в определенных пределах ; в соответствии с этим мы будем подразумевать, что интегрирование обоих слагаемых в (6.5) распространено по соответствующим областям.
Если применить к рассматриваемому случаю дебаевское приближение, то соотношение между частотой и 77 выразится в виде [ср. (5.12)]
Vnp-бл. = ( 2 (ГП + т') ) *7 ¦ (б-6)
Число колебаний в интервале частот v, v -(- A v, таким образом, равно
2L^-2L(t^)/,‘,=24-^!1 ТАг- <6-7>
Максимальная частота vD определяется условием нормировки j- 2L(2im + mr)J1, dv = 2L,
О
откуда
= ( 205Т*гГ ' (6-8)
б Макс Борн и Хуан Кунь
82
Глава 2. Колебания решетки
Таким образом, распределение частот может быть записано в виде
= 0 , VD<V
(6.9)
Следовательно, теплоемкость в «приближении континуума» дается выражением
’’л
ghv kT ! Ь 2
(Су)прибл.
2 Lk
где
(,eh*ikT-i)* (* т ) dv
= 2Lk (“0Б ) j (?i _ i)=
о
hvD _ h_ Г_________q>’_____T
к L 2 (m + m') J
0n =
вц/Т
l1/.
f2
df, (6.10)
(6.11)
2 (m + m')
есть дебаевская температура.
Удобный способ нахождения отклонения приближенного выражения (6.10) от точного выражения (6.5) состоит в следующем.
Если просто приравнять (6.5) и (6.10), то из полученного соотношения можно вычислить значение &D для любого данного Т. Следует ожидать, что вычисленные таким путем значения 0D будут в точности совпадать с (6.11)только для очень малых Т, так как только в этом предельном случае формула Дебая (6.10) является точной. Отклонение &D от этого предельного значения может служить удобной мерой неточности прибли7 женной формулы. Блэкман [11] вычислил таким способом 0D как функцию Т для ряда ¦ случаев и представил резуль-' таты в графической форме ; его кривые приведены на
теп-мак-
ео ВО 100 120 140 Т, °1(
Фиг. 8. Значение 0о для линейных двухатомных цепочек с различными^., отношениями масс атомов, i.
фиг. 8. Мы видим, что частоты и vz, а следовательно, лоемкость зависят только от следующих двух параметров симальной частоты [см. (6.4)]
1 j 2 (т -f т') р" ) й V° 2 п ( тт'
и отношения масс т’/т.
§ б. Спектр частот колебаний решетки и удельные теплоемкости 83
Случаи, рассмотренные Блэкманом, соответствуют одному и тому же произвольно фиксированному значению v0 (а именно h v0jk = 200°) и различным значениям отношения масс т'/т, как указано на фигуре.
