Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Борн М. -> "Динамическая теория кристаллических решеток" -> 32

Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.

Борн М., Кунь Х. Динамическая теория кристаллических решеток — М.: Ил, 1958. — 488 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamicheskayateoriyakristalicheskihreshetok1958.pdf
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 186 >> Следующая


ческой ветви, где противоположные заряды движутся в унисон. Поэтому при рассмотрении оптических свойств кристаллов нас будут интересовать только длинные волны оптической ветви.

(Вышеприведенное рассмотрение является лишь схематическим. Дело в том, что при распространении электромагнитной волны вдоль цепочки электрическое поле перпендикулярно к цепочке, в то время как осциллирующие электрические моменты оптических колебаний параллельны цепочке. Тем не менее формальные черты нашего схематического рассмотрения сохраняются и в реальном трехмерном случае, который мы рассмотрим в § 8.)

Мы видели, что каждому значению rj отвечают два нормальных колебания, принадлежащие к акустической и оптической ветвям соответственно. Для бесконечной цепочки rj может принимать любые значения между — г/а и х/8; следовательно, в этом случае имеется бесконечное число независимых колебаний. Мы видели далее, что для рассмотрения термодинамических функций колебания должны быть нормированы на конечный объем кристалла. В данном случае требуемая нормировка может быть достигнута, если у конечной цепочки из L ячеек соединить оба конца так, чтобы образовалось кольцо. До тех пор пока L достаточно велико, чтобы можно было пренебречь кривизной кольца, уравнения движения (5.5) останутся совершенно неизменными, если мы отождествим i-ую ячейку с нулевой. Решения остаются теми же, что и раньше, но должны быть теперь подчинены дополнительному условию

Ul = Щ >

поскольку оба эти смещения теперь относятся к одной и той же частице. Из этого условия следует, что должно выполняться равенство

rj L = целое число. (5 17)

Сопоставляя это с (5.11), заключаем, что г) ограничено значениями , где h — целые числа в интервале----------L^h < ~ L. (5.18)

Таким образом, полное число колебаний равно 2L, т. е. числу степеней свободы цепочки (напомним, что каждая частица в данном случае имеет только одну степень свободы, поскольку ее движение ограничено направлением вдоль цепочки).

Отметим, что в одномерном случае расположение ячеек в виде конечной кольцевой цепочки в точности эквивалентно использованию периодического граничного условия ; это условие не так легко представить себе в трехмерном случае.

При однородном растяжении цепочки частоты колебаний изменяются, поскольку (p"Qlz s) зависит от среднего промежутка г/2 s.
§ 6. Спектр частот колебаний решетки и удельные теплоемкости 77

Из формул (5.9) для частот легко находим

__ d in v

У ~ d In s

Эта величина не зависит от г\ и, следовательно, одинакова для всех нормальных колебаний. Таким образом, в этом простом случае строго справедливо уравнение Ми—Грюнайзена.

Мы видели, что упругие волны соответствуют только длинноволновым акустическим колебаниям решетки. В модели Дебая колебания решетки полностью заменяются упругими волнами ; тем самым, по существу, предполагается, что на (w, ^-Диаграмме типа, показанного на фиг. 7, все частоты колебаний попадают на касательные к акустической ветви, проходящие через начало координат. Эти касательные показаны на фиг. 7 для одного случая. Таким образом, модель Дебая лишь весьма грубо описывает акустические колебания решетки. Колебания оптической ветви учитываются лишь постольку, поскольку рассматривается число степеней свободы ; максимальная частота в теории Дебая выбирается так, что касательные, представляющие упругие колебания, обрезаются в точках, дающих правильное полное число нормальных колебаний.

Заметил!, что при большом различии масс частиц обоих типов (ср. фиг. 7) частоты оптической ветви заключены в сравнительно узком интервале. Эти колебания сводятся главным образом к движению легких частиц, тогда как тяжелые частицы остаются практически неподвижными. Поскольку в рассматриваемой модели легкие частицы влияют друг на друга только через посредство движений тяжелых частиц, движения различных легких частиц в этих нормальных колебаниях в большой степени независимы, и, таким образом, соответствующие колебательные частоты не очень заметно отличаются от частоты колебаний легкой частицы между двумя закрепленными соседними частицами. В этом случае колебания оптической ветви удовлетворительно описываются моделью Эйнштейна ; модель же Дебая может быть использована дополнительно для учета колебаний акустической ветви.

§ 6. Спектр частот колебаний решетки и удельные теплоемкости

Несмотря на свою ценность в качестве широко применимого приближения, дебаевская теория упругого континуума недостаточна для полного объяснения хода теплоемкости и должна быть заменена атомистической теорией Борна и Кармана [10], опубликованной независимо и примерно в то же время. Это обстоятельство было впервые убедительно продемонстрировано в серии.статей Блэкмана

1 й 1п ш*

2 d In s

hrs) (J2S)

(5.19)
78

Глава 2. Колебания решетки

[11—15], когда успех и простота теории континуума уже почти заслонили тот факт, что эта теория лишь приближенная.
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 186 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed