Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
правой части (18.4) можно пренебречь. Интеграл с производной от функции
Ферми вычисляется стандартным способом [17]. При этом, как и в § 17,
§ 17*. ТЕРМОДИНАМИКА ПРИ НАЛИЧИИ МЯГКОЙ ЩЕЛИ
141
будем пренебрегать возможной зависимостью плотности состояний от
температуры.
При p'{F0) = р (F0) = 0 мы получаем
о(c) F
-\N(E)^rdE^\-9(E)dE + ^Ti9,"(F). (18.5)
о о
В последнем слагаемом в правой части можно заменить F на F0, а интеграл
от плотности состояний можно переписать в виде
\p(E)dE + ±p"(F0)(6F?. (18.6)
о
Собирая формулы, получаем
хр__ 7я4 р (Fo) 'гиЧ1/3 П Ч 71
lw p"'(F0) Т ) • (18J)
По порядку величины
р"' (Fo) 1
р" №>)
(18.8)
где Е - введенная в § 16 характерная энергия, определяющая область
применимости формулы (16.17). В частности, ограничиваясь формулой
(16.17), мы получили бы 8F = 0.
б) Теплоемкость системы локализованных электронов. Воспользуемся
термодинамическими переменными Т, F, v. Тогда теплоемкость при постоянном
объеме с0, отнесенная к единице объема, дается выражением
(( dS\ (дп/дТ)11
°v = Т { VW)р ~ (dn/dF)T } • ^18,9^
Здесь S - энтропия, отнесенная к единице объема. Выражение для n(T,F)
получается из формул (18.3) -(18.5), в которых теперь величины F и Т надо
рассматривать как независимые:
F
n=\p(E)dE+^T*p'"(F). (18.10)
о
Как видно из формулы (18.10), второе слагаемое в фигурных скобках в
(18.9)-порядка Г4, и им следует пренебречь. Для вычисления первого
слагаемого воспользуемся термодинамическим соотношением
6S \ ( дп
142 ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
С учетом (18.10) это дает
и, следовательно,
(18.11)
Соотношение (18.11) есть не что иное, как дифференциальное уравнение для
функции c"(F) - теплоемкости электронов, занимающих дискретные уровни в
щели для подвижности (теплоемкость валентных электронов нас здесь не
интересует). Граничное условие к нему имеет вид с"->- 0 при F-hi-оо.
Действи-
тельно, при F < Ev дискретных уровней нет и соответствующий вклад в
теплоемкость отсутствует. Интегрируя (18.11) по F от какого-либо
(безразлично какого) отрицательного значения до F0, мы получаем
Видим, что при наличии мягкой щели электронная теплоемкость при низких
температурах зависит от температуры не линейно, как это обычно бывает в
вырожденном газе, а кубично. По этой причине ее, может быть, нелегко
отличить от теплоемкости атомной матрицы.
в) Спиновая парамагнитная восприимчивость. Обозначим через цв магнетон
Бора (может быть, содержащий дополнительный гиромагнитный фактор, если
играет роль спин-орби-тальное взаимодействие).
Пусть, далее, напряженность магнитного микрополя есть h, а
соответствующий ей вектор-потенциал равен а. Тогда в аддитивной части
гамильтониана (16.1) появляются дополнительные слагаемые
- nB(A|<xh|A0<% -
- (Я | Va + &V I АО а+а,, + (я | а21X') a+av. (18.13)
Здесь а - спиновый вектор Паули.
Второе и третье слагаемые в (18.13) обусловливают орбитальный магнетизм
связанных электронов и дырок. Этот эффект может быть заметным или
незаметным - в зависимости от природы центров локализации. Для нас здесь
существенно, что при малой спин-орбитальной связи спиновый и орбитальный
магнетизм можно рассматривать независимо друг от друга. По этой причине,
интересуясь только спиновыми эффектами, мы вправе пренебречь последними
двумя слагаемыми в (18.13). Тогда для
cv = ^-TY'(F о).
(18.12)
§ 18*. ТЕРМОДИНАМИКА ПРИ НАЛИЧИИ МЯГКОЙ ШЕЛИ
143
учета однородного поля h, параллельного оси z, достаточно заменить
величины Е\ в (16.1) на Е\ ± цв/t (знаки "+" и "-" соответствуют двумя
разным ориентациям спина). Соответственно концентрации электронов со
спинами "вверх" (вдоль магнитного поля) и "вниз" (противоположно
магнитному полю) будут
оо
%=4$Р(?) Пр {Е - цвА) dE
О
И
оо
га_ =у$Р(?) nF(E + ^h)dE. о
Здесь р (Е) есть, как и раньше, сглаженная плотность состояний для
электронов с обеими компонентами спина, с чем и связан множитель 1/2
перед знаком интеграла. Заметим, что мы пренебрегли здесь влиянием
магнитного поля на сглаженную плотность состояний. Очевидно, это
оправдано, коль скоро цвА <С Е- характерной энергии, на которой заметно
меняется функция р (Е).
Итак, для z-компоненты спинового магнитного момента единицы объема М мы
получим 00
М = т И'В 5 р (F'HnF (Е - ^Bh) - nF {Е + И'в^)} dE• (18.15)
о
Ограничимся достаточно слабыми магнитными полями, полагая HBh < Е, \Lzh <
F - Е0, Ec - F. (18.16)
Соотношения между цвА и Т могут быть различными. Мы рассмотрим два
предельных случая: цвЛ < Г и цвЛ 3> Т.
При цв/г "С Т выражение в фигурных скобках в (18.15) можно разложить в
ряд по степеням цв/г, ограничиваясь первым членом разложения. При этом
оо
М = - 2lilh | \ n'F (Е) р (Е) dE = цавА [р (F) + ? р" (F) Т2].
(18.17)
о
Согласно (18.7) температурной поправкой к уровню Ферми можно пренебречь
даже в первом слагаемом в квадратных скобках: учет ее дает член порядка
Г8/3. В линейном по h приближении можно пренебречь и сдвигом уровня Ферми
в магнитном поле. Таким образом,
