Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
плотности состояний развит в работах И. М. Лифшица (1967) и Б. И.
Гальперина и М. Лэкса (1966), ему посвящены §§ 2 и 3 данной главы.
В настоящей главе принята та же постановка задачи, что и в §§ II. 1-II.
13. Вдобавок мы рассматриваем лишь одну ветвь энергетического спектра
электронов (для определенности - зону проводимости) и пользуемся в
качестве вспомогательного изотропным параболическим законом дисперсии
Е(р) = р2/2т. Нуль отсчета энергии совмещен с границей зоны Ес, сдвинутой
на среднее по ансамблю значение случайного потенциала. .Таким образом,
как и раньше (в гл. II), <?/(г)> = 0. Далее, пренебрегая динамической
корреляцией между электронами, мы считаем статистические характеристики
случайного поля не зависящими от состояния системы электронов. Фактически
такая зависимость потенциала U(г) может войти, например, благодаря
электронному экранированию; радиус экранирования может играть роль
характерной длины убывания используемой ниже бинарной корреляционной
функции.
Последняя определяется обычным выражением (см. (II. 7.5)):
Ч* (| г - г' |) = (?/ (г) U (г')>. (1.1)
В этой формуле явно указано, что роль аргумента функции Y играет модуль
разности радиус-векторов г и г'. Это есть выражение макроскопической
однородности и изотропии системы.
Принятые в такой постановке задачи упрощения несколько ограничивают круг
систем, к которым могли бы относиться результаты теории. Все же многие
закономерности и эффекты, обусловленные именно случайным характером поля,
таким путем удается установить.
154 гл. III. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИИ И ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
Наконец, будем рассматривать только гауссово случайное поле. При этом все
характеристики поля выражаются только через бинарную корреляционную
функцию 'Р(г). Как отмечалось в § II. 7, гауссова статистика случайного
поля реализуется во многих физических интересных системах. С другой
стороны, это - едва ли не простейший пример случайного поля [38].
§ 2. Метод оптимальной флуктуации
В настоящем параграфе указанный в заглавии метод будет применен к
отысканию плотности состояний р (Е) в области больших по абсолютной
величине отрицательных значений энергии, т. е. глубоко под дном зоны
проводимости. Те же результаты справедливы и для дырок, с очевидными
изменениями смысла некоторых величин. Согласно сказанному в §1.6, мы
должны найти следующее среднее по ансамблю полей U(г):
Р(?) = 1^(Z6(E~ExW(r)])y (2.1)
где Е\ - собственные значения уравнения Шредингера в конкретном поле
U(г). Операция усреднения производится путем функционального
интегрирования по полям U(г) с плотностью распределения (II. 7.12'):
& [U (г)] = Wехр | -^^dr dr' U (г) В(\г - г' |) U (г')} • (2.2)
Здесь 5(|г - г'|)-положительно определенное ядро, N - (формально
бесконечный) нормировочный множитель, такой, что
\2D[V(t)]9>[U(t)] = \, (2.3)
а символом ^ Ф [/] А [/] здесь и в дальнейшем обозначается
операция функционального интегрирования некоторого функционала A[f] по
пространству функций /. Ядро 5(|г - г'|) непосредственно связано с
бинарной функцией Ч^г):
J В (| г - г' |) Y (I г' - г" |) dr' = б (г - г"). (2.4)
Коль скоро нас интересует область хвоста плотности состояний, вклад в р
(Е) для таких энергий может проистечь лишь от конфигураций U(г), в
которых имеются не слишком узкие ямы глубиной не менее \Е\. Подобные ямы
вносят большой вклад в фигурирующий в (2.2) интеграл, при котором стоит
знак "минус", т. е. они весьма маловероятны. В этих условиях вероятность
того, что в данной яме ниже рассматриваемого уровня имеется
§ 2. МЕТОД ОПТИМАЛЬНОЙ ФЛУКТУАЦИИ 155
какой-то еще, пренебрежимо мала. Иначе говоря, основной вклад в р(?)
происходит от нижних, основных уровней в ямах. Поскольку уровней с такими
энергиями мало, все такие ямы можно считать изолированными друг от друга.
Это означает, что мы вправе исследовать задачу о нахождении вклада от
одной отдельной ямы, в которой основной уровень ?0[^(г)] = ?'. Искомая
величина р(?) равна плотности вероятности флуктуации U(г), обеспечивающей
появление наинизшего уровня с энергией Е. Таким образом,
р (Е) ~ [U (г)] 9 [U (г)] б (Е0 [U (г)] - Е). (2.5)
Иначе говоря, в функциональном пространстве U(г) интегрирование ведется
по гиперповерхности, на которой аргумент 6-функ-ции равен нулю. Главный
вклад в интеграл в правой части (2.5) происходит от окрестности той
"точки" f)o(r), в которой величина (?[U(г)] максимальна. Записав гауссово
распределение в виде
& [U (г)] = N ехр {- 5 [U (г)]}, (2.6)
мы приходим к задаче о нахождении минимума функционала 5 при условии jE'o
[t/(г) ] = Е. Решение этой задачи даст нам основную, экспоненциальную
зависимость плотности состояний от энергии. Интересуясь только ею, мы
можем считать предэкспо-ненциальный множитель в формуле для плотности
состояний просто константой ро соответствующей размерности. Тогда
Обозначим через U0(г) ту оптимальную флуктуацию случайного поля, для
которой достигается искомый минимум:
50 = 5 [Uo (г)] = min 5 [(U (г)] | {и (г)]_в. (2.8)
