Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Т - 0 все центры с энергиями, меньшими У7-V, двукратно заполнены, цен-
*) В отличие от обычной ситуации, уровень электрохимического потенциала
при Т = 0 не служит здесь границей между заполненными и пустыми
состояниями. По этой причине мы предпочитаем использовать здесь термин
"электрохимический потенциал" вместо "уровень Ферми",
$ 19. ТЕРМОДИНАМИКА В СЛУЧАЕ ДВУХЭЛЕКТРОННЫХ УРОВНЕЙ 147
тры с энергиями между F - V и F заполнены однократно, а центры с Ета > F
пусты. Именно такое распределение отвечает минимальной энергии: если,
например, перенести один электрон с однократно заполненного центра с
энергией, близкой к F (но меньшей F), на центр с энергией Ema>F-V,
образуя двукратно заполненный центр, то выигрыш в энергии за счет
уменьшения энергии электрона будет недостаточен для того, чтобы
компенсировать энергию отталкивания V. При Т Ф О ступеньки
Рис. 9. Функция заполнения локальных состояний при наличии отталкивания
между электронами, попадающими на один и тот же
центр.
размываются (рис. 9); ширина областей размытия, как и ширина размытия
обычной фермиевской ступеньки, порядка Т.
Полную концентрацию электронов можно найти с помощью функции (19.6):
= {ехр[-р(?т+ - F)] + ехр[- и (Emt - F)] +
Соотношение (19.7) определяет электрохимический потенциал в системе как
функцию концентрации и температуры. Пусть энергия не зависит от спина:
Ет^ = Ет^=Ет. Тогда F0 - значение F при Т = 0 - находится из выражения
+ 2exp[-P(?m| + ?m^-2F+F)]}. (19.7)
Fa-V
п
= 2 $ р (E)dE+ $ р (E)dE,
(19.8)
о
Fa-V
а сдвиг электрохимического потенциала с температурой
148
ГЛ. ГГ. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
определяется из соотношения
F-V F
п - 2 ^ p(E)dE-\- ^ p(E)dE -
О F-V
= \ dEm р (Ет) +
J zm
F
+ t iQbll
J
i7- И
+ 2 ( fif/:mp (?J exp [ P-(?,g-Л1 + exp [ p (2?m-2? + K)j ^
J 2/n
F
Отсюда при низких температурах получаем (Т. А. Каплан, С. Д. Маханти, В.
М. Хартман, 1971)
2 ШГТ№^Р (1910)
Здесь и в дальнейшем мы не делаем специальных предположений о значении
p(F0).
Видим, что в данном случае уровень электрохимического потенциала линейно
зависит от температуры - в отличие от того, что мы имеем в отсутствие
корреляции и в газе делокализован-ных электронов.
Электронный вклад в теплоемкость также легко вычисляется. Мы получаем
cv = ±r[r^f\ (19.11)
или, с учетом (19.4) и (19.5),
д (Т2 dzm \ r ( dzrn Y
ЕдТ У. дТ ) \ дТ )
------ ~
г2
Ш
= \ dE р (Е) г-2 (?)[^г {Т2^-) - Г (^Д)2],
О
где zm = z(Em). Отсюда получаем (полагая Е - F = Тх)
. г С , (г . г л2х2е-х+(2х+т2е-{2х+т+2(х+Ше~(Ъх+т_. со-Т ) dxp(F+Tx)-----
------[1 + 2е-^ + в-(2^+'рй)]2-"
"2r[p(F) + p(F-V)]fl, (19.12)
§ 19. ТЕРМОДИНАМИКА В СЛУЧАЕ ДВУХЭЛЕКТРОННЫХ УРОВНЕЙ 149
где постоянная В есть
оо
d f j х2е~х я2 + 31п22 , п /1 л 1 о\
в= П*(| + г,-)* =-------------5---<1913>
- ОО
Таким образом, электронный вклад в теплоемкость - того же порядка, что и
соответствующий вклад зонных электронов в металле (при той же плотности
состояний), и также линейно меняется с температурой. Такая же зависимость
характеризует, однако, и вклад в теплоемкость, связанный с особенностями
спектра низкоэнергетических колебаний атомной матрицы неупорядоченной
системы (см. § 4). Последний вклад, по-видимому, преобладает, коль скоро
плотность локализованных электронных состояний в окрестности уровня Ферми
не слишком велика (меньше ~ 1020 -f- 1021 см~3 эВ-1).
При наличии внешнего магнитного поля напряженности Ш состояния с
противоположными спинами расщепляются:
Ет^ == Ет 2 М'В^,
(19.14) - 1+2 ехр (~х) -г exp ( -2x - Р V j *
При этом термодинамические функции зависят от 36.
Рассчитаем спиновую магнитную восприимчивость системы в слабых магнитных
полях. Свободная энергия 3F системы, отнесенная к одной частице, есть
?F = F - Т\п Z.
Отсюда для магнитной восприимчивости находим
d2zm С dzm у
_ / дТ2 \ I . ту m дМ2 \Jm~)
х \дж2).\ ^ ~2
Ф/х) 1
/ \ 2 \ "
-V/T С 2
Рис. 10. Функция ехр(-х) Ф(*) =
- \dxp{Tx)---------^------=-*"¦. (19.15)
2T J ' 1 + 2e~x + e~2x~&v
Функция Ф(х), на которую множится плотность состояний в подынтегральном
выражении, имеет вид, изображенный на рис. 10. Вклад от "полочки",
простирающейся от F-V до F,
150 гл. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
равен
47
р Р
5 dx р (F + хТ),
(F-V)
и всю восприимчивость можно представить в виде (И. П. Звягин, 1977)
РГ 2
\ dx р (хТ) + [Р (^о) + Р (^о - ^)] In 2. (19.16)
(F,-V)
__ Ив X 4Г
Первый член в правой части (19.16) описывает обычный закон Кюри, а второй
член дает поправку, не зависящую от температуры. Заметим, что выражение
(19.16) пропорционально числу неспаренных спинов, определяющему сигнал
ЭПР.
Происхождение закона Кюри здесь не вполне тривиально, ибо спектр
локализованных состояний - всюду плотный. Это
есть следствие динамической корреляции между электронами, локализованными
вблизи одного и того же центра. В отсутствие такой корреляции (§ 18)
(равно как и в случае обычного зонного парамагнетизма) вклад,
