Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
точки R" возникнет потенциальная яма с уровнем Е", если вблизи точки R'
имеется яма с уровнем Е', оказывается отнюдь не постоянной в
пространстве. Соответственно представим функцию р2 в виде
р2 (?', R', R") = р (?') р (Е") Т (?', Е"; R', R"). (3.4)
Функция по определению безразмерна и неотрицательна. В макроскопически
однородной системе она зависит только от разности R'- R" = R; в
отсутствие каких-либо физически выделенных направлений фактически
остается только зависимость от | R| = /?.
Мы будем называть Ч* функцией корреляции (или корреляционной функцией)
двух уровней. Аналогично можно ввести и функции корреляции трех, четырех
и т. д. уровней.
В соответствии со сказанным выше функция должна обладать следующими
свойствами:
Г I, /?-> ОО,
W (Е', Е", /?)->! О, Е"->Е', R-+ 0, (3.5)
( 1, \Е'-Е"\-+оо.
Условия R-+oo и | Е' - ?"1->-оо здесь следует понимать в смысле
неравенств
[у (?') + у (?")] R > 1, I Е' - Е" | > 'sJTW, (3.6)
где у (Е'), у (Е") - обратные радиусы локализации соответствую-
щих состояний.
Явный расчет функций корреляции представляет собой задачу большой
сложности. В настоящее время используются следующие приближенные
выражения для Чл.
А) исчезающе малая корреляция:
Ч* = 1 при всех R, Е', Е". (3.7)
Б) 6-корреляция:
Ч' = ?6 (| ?' - Е" | - Ё), (3.8)
*) Приводимая ниже трактовка квантовой корреляции в существенных чертах
принадлежит Н. Ф. Мотту [40]; возможна и классическая корреляция, также
учитываемая функцией V в (3.4).
162 гл. III. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ И ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
где Е - некоторое среднее расстояние между уровнями. Его можно
определить, замечая, что число уровней в интервале энергии АЕ с центрами
локализации, лежащими в пределах шара с радиусом R, есть (4я/3)Я3р (Е)
АЕ. Отсюда
? ------------
4зтЯ3р (Е) '
В) "Ступенчатая" корреляция-.
ур = 0 (R - Я0),
где
D - 1 In -
у(Е') + у(Е") | Е' - Е" |
Г) Дайсоновская корреляция-.
W = [l-Y2 (Е'-Е")\ Ф(Я),
где Ф(^) - какая-нибудь подходящая функция расстояния, К2 - одна из
функций, вычисленных Дайсоном [41] в его статистической теории уровней
сложных ядер; Y2(E' - ?")-"-1 при 0.
Первая аппроксимация, строго говоря, не может быть правильной, ибо не
удовлетворяет второму из условий (3.5). Использование ее может быть в
какой-то мере оправдано, только если выражение, усредняемое с помощью
функции (3.7), по каким-либо специальным причинам очень мало в области
малых значений R.
Вторая аппроксимация представляет собой предельный случай более сложного
выражения, полученного для одномерной системы в работе В. Л. Покровского
(1966). Она также не может быть строго правильной, ибо не удовлетворяет
первому из условий (3.5). Видимо, ее применение имеет известный смысл,
если в усредняемом с ее помощью выражении главную роль играют малые
расстояния R, а большие расстояния несущественны (аппроксимация, обратная
случаю (3.7)).
Выражение (3.10) получается как следствие резко упрощенного варианта
соображений Мотта (1969). Именно, будем рассматривать уровни с энергиями
Е' и Е" как результат расщепления двух уровней, которые были бы одинаковы
при бесконечном удалении соответствующих ям. Тогда по порядку величины
| Е' - Е" | ~ ехр {- R [v (Е') + У (Е")]}. (3.13)
При заданном значении | Е' - Е"\ эта формула определяет минимально
возможное расстояние между центрами локализации Ro (см. (3.11)). Заметим,
что правая часть (3.11) может ока-
(3.9)
(3.10
(3.11)
(3.12)
" 4*. ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ УРОВНЕЙ В ГАУССОВОМ ПОЛЕ 163
заться и отрицательной. При этом корреляция между уровнями в принятом
приближении исчезает.
Оценка (3.13) может иметь смысл, если расстояние R, с одной стороны,
столь мало, что влияние всех остальных ям несущественно, а с другой -
столь велико, что [7 (Е') + у (Е") ] R >•
1 (при этом можно воспользоваться асимптотическим видом собственных
функций дискретного спектра).
Наконец, функция (3.12) получена в предположении, что плотность состояний
постоянна, а полное число уровней в системе конечно. Это означает, что
данная аппроксимация может быть оправдана лишь при рассмотрении уровней,
достаточно близких друг к другу: энергетическое расстояние между ними
должно быть мало по сравнению с характерной энергией, на которой заметно
изменяется плотность состояний. Далее, большие значения R не должны
играть роли при усреднении. При этом объем пространства, по которому надо
усреднять, оказывается эффективно ограниченным; число уровней в этом
объеме и в рассматриваемом интервале энергии действительно конечно. Явный
вид функции Ф в этих условиях, видимо, не играет особой роли, и можно
просто положить Ф = 1.
Следует подчеркнуть, что формулы (3.7), (3.8) и (3.10) не выведены
строгим образом, а угаданы. Соответственно даже в указанных выше условиях
ими можно пользоваться лишь в целях ориентировки. Формула (3.11) в рамках
определенных предположений получена строго; однако справедливость самих
предположений, на которых основано выражение (3.10), в рассматриваемых
