Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
решалось численно для различных соотношений между энергией Е и
параметрами r|)i, го. Результат для 1пр(?) таков: зависимость lnp(?) ~ Vl
? I (сравните с (2.26)) с ростом |?| плавно переходит в более сильную,
когда неравенство (2.19) перестает удовлетворяться. В области | Е | > V^i
> I ЕI > й2/2т|о мы имеем
_lnJ^ = 1?L (2.30)
Ро . 2it4 ' '
§ 2. МЕТОД ОПТИМАЛЬНОЙ ФЛУКТУАЦИИ
159
Последний результат для асимптотического хода плотности состояний не есть
следствие аппроксимаций: как показано Л. А. Пастуром (1972), он
оказывается математически строгим в довольно общих предположениях.
Возвращаясь к исследованию уравнения с самосогласованным потенциалом
(2.16), отметим, что оно выражает собой условие минимума положительно
определенного функционала:
Г {Чу m~E\dr у* (г)Т
в[0(г)] = -Ц^-------------------------- • (2.31)
^ dr dr' у2 (г) 'Р (I г - г' |) у2 (г')
В этом нетрудно убедиться, непосредственно варьируя функционал 0[</(г)]
по у (г). Использование этого функционала представляет определенное
удобство, поскольку с его помощью приближенное решение (2.16) легко найти
прямым вариационным методом. Это было проделано (Р. Эймар, Г. Дюрафур,
1973) для бинарной функции вида (2.28) с использованием простейших
однопараметрических водородоподобных пробных функций гро~ехр(-а г).
Результаты для плотности состояний, полученные столь несложным образом,
оказались весьма близкими к полученным Б. И. Гальпериным и М. Лэксом
(1966) путем громоздкого численного расчета.
Как уже упоминалось в § 1 настоящей главы, под функциональными методами
здесь понимаются конкретное интегрирование по пространству случайных
функций U{г) и интегрирование по траекториям в фейнмановской лагранжевой
записи квантовомеханической функции Грина. Можно, однако, вместо второй
из этих операций проводить функциональное интегрирование по пространству
волновых функций г|з(г). Понятно, что эта процедура эффективна лишь
тогда, когда интеграл можно приближенно вычислять по методу перевала.
Так, например, ограничиваясь пространством вещественных функций г|з(г) в
области больших по модулю Е, удобно рассмотреть следующий функционал:
X № (г), и (г)] = L [Ч> (г), и (г)1 + S[U (г)1, (2.32)
где
L [ф (г), U (r)l=^- \ dr т2 +5*1/ (г) ф* (г)-Е \ dr ф* (г). (2.33)
Он выбран таким образом, что при заданном распределении U(г) точка
стационарности L по г|з дает решение обычного уравнения Шредингера, а
величина -S[t/(r)] есть логарифм вероятности реализации U{г). Определим
теперь точку стационар-
160 ГЛ. III. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ И ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
ности функционала Я одновременно по переменным II (г) |р =
= ^dri|)2(r) и полю U(r). Результат для ?/о(г) совпадает с
(2.176), а значение Хо в найденной таким образом точке перевала совпадает
с функционалом (2.31), уже, очевидно, не содержащим U и не зависящим от
нормировки у (г).
§ 3. Функция корреляции уровней
Метод оптимальной флуктуации, описанный в предыдущем параграфе, был
развит для расчета одной из существенных характеристик системы -
плотности состояний р (Е). Она, однако, зависит лишь от одной
энергетической переменной Е. Между тем бывают важны задачи, при решении
которых оказывается необходимо усреднять по случайному полю выражения;
зависящие от характеристик сразу двух или большего числа уровней. К числу
таких задач относится, например, расчет электропроводности вещества.
Таким образом, надо ввести плотность вероятности того, что вблизи точек
R' и R" возникнут потенциальные ямы, содержащие, соответственно, уровни в
интервалах ДЕ' и ДЕ" около точек Е' и Е". Обозначим эту величину через
р2 (Е', Е"\ R', R") АЕ' АЕ". (3.1)
Тогда среднее (по случайному полю) значение любой функции F, зависящей от
энергий и центров локализации двух уровней, можно записать в виде
(F)=\>dR'dR" ? р2 {Е',Е"\ R', R")FAE'AE". (3.2)
Е"
Если в функции F существенны лишь достаточно малые разности уровней, на
которых величина р2 практически не изменяется, то суммирование по Е' и Е"
можно заменить интегрированием. При этом
{F) = J dR' dK" J dE' dE" p2 (E', E"\ R', R") F. (3.3)
Если бы события, состоящие в возникновении уровней Е' и Е" с центрами
локализации в точках R' и R", были статистически независимы, то функция
р2 давалась бы просто произведением "одноуровневых" плотностей
вероятности р(Е') и р(Е"). Из принципа ослабления корреляции следует, что
именно так и должно обстоять дело на достаточно больших расстояниях R = |
R' - R"|. Положение, однако, меняется, когда значение R становится
сравнимым с суммой радиусов локализации электро*
§ 3. ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ УРОВНЕЙ
161
нов на рассматриваемых уровнях. Действительно*), будем мысленно сближать
ямы, которые при /?-*-оо содержали бы одинаковые уровни. Как известно из
квантовой механики, перекрытие волновых функций, возникающее при конечных
R, приводит к их гибридизации и расщеплению уровней. По этой причине
разность Е' - Е" при достаточно малых значениях | R'- R"| неизбежно
оказывается конечной. Иначе говоря, условная вероятность того, что вблизи
