Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Ваннье - Мотта, характеризующихся сравнительно небольшой энергией
ионизации. С другой стороны, у экситонов Френкеля энергия ионизации,
видимо, слишком велика, чтобы "удары второго рода о случайное поле" могли
заметно на них повлиять; распад этих экситонов за счет второго из
указанных выше факторов возможен, видимо, лишь при довольно специальной
форме плотности состояний в запрещенной зоне.
Рассмотрим задачу о распаде экситона Ваннье - Мотта в слабом случайном
поле за счет "ударов второго рода". Ограничимся при этом простейшей
моделью: будем считать, что во вспомогательной задаче (§ 8) законы
дисперсии электрона и дырки - простые параболические с минимумами в
центре зоны Бриллюэна. Допустим также, что время жизни экситона
относительно рассматриваемого распада значительно меньше, нежели
относительно рекомбинации, и пренебрежем последним эффектом. Уравнение
Шредингера для рассматриваемой системы двух квазичастиц есть
={- -S7 ъ - ш; К -17 с.'-г")+и" М+и,м} ^ <15-"
Здесь тп, тр и г", гр - эффективные массы и радиус-векторы электрона и
дырки, a V{rn - rp) и Un(г"), Up{гр) суть, соответственно, энергии
взаимодействия электрона и дырки друг с дру-
126 гл. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
гом и со случайным полем. Удобно ввести координаты Якоби
ции экситона М = тп-\- тр. Тогда уравнение (15.1) примет вид
Оператор U(г, R) мы будем рассматривать как возмущение, вызывающее
переходы между собственными состояниями оператора Н0 - состояниями
системы без случайного поля.
В соответствии со сказанным выше интерес представляют условия, в которых
радиус экранирования достаточно велик, а потенциальная энергия носителей
заряда достаточно плавно изменяется в пространстве (точный смысл
последнего выражения будет указан ниже - см. текст после формулы (15.12)
и формулу (15.13)). Следовательно, в качестве V (г) можно взять обычное
кулоиовское выражение (в материале с не слишком большой долей иоиной
связи оно содержит полную диэлектрическую проницаемость е). Далее,
функцию U(г, R) можно разложить в ряд по степеням первого аргумента,
полагая
Третье слагаемое в правой части (15.5) описывает связь между внутренними
и внешними степенями свободы. Именно через него и выражается искомая
вероятность распада экситона.
Пусть в начальный момент экситон находится в основном состоянии.
Соответствующая волновая функция есть
?г = (ла3в) 1/2ехр (- r/aB) (2nh) 3/2ехр (j ргя) , (15.6)
где aB = sfr2/me2 - боровский радиус экситона, а р, -импульс центра
инерции. Соответствующая энергия, отсчитанная от энергии состояния, в
котором свободные электрон и дырка покоятся на бесконечном расстоянии
друг от друга, дается выражением
(15.2)
тптр
а также приведенную массу т ----------------г--- и массу центра инер-
ГПп Т* tfZp
ih^ = (Ho+U)'?.
(15. Г)
Здесь
(15.4)
(15.3)
U(г, R) = Un(R) + Up(R) + (г, VRUn (R) - ^ VRUP (R)). (15.5)
Е=-Ев + Ру2т.
(15.7)
Здесь Еп - те4/2z2h2 боровская энергия экситона.
§ 15. ЭКСИТОН В НЕУПОРЯДОЧЕННОМ ПОЛУПРОВОДНИКЕ
127
Нас интересует вероятность перехода в состояние, в котором экситон
диссоциирован. Соответствующие волновая функция 4*7 и энергия Еf суть
Здесь (г) - волновая функция непрерывного спектра, рf - квазиимпульс
центра инерции экситона в конечном состоянии, к - безразмерное квантовое
число, непрерывно изменяющееся от нуля до бесконечности.
Расчет искомой вероятности производится по стандартным формулам квантовой
механики. Результат надо усреднить по всем возможным значениям компонент
начальной скорости экситона рi/M и по случайному полю. В первом
неисчезающем приближении вероятность перехода выражается через квадрат
оператора возмущения. Соответственно введем функцию
Очевидно, это есть не что иное, как обобщение обычной бинарной
корреляционной функции (§ 7) на случай двух типов носителей заряда. Мы
будем считать функцию Ч?пр изотропной: Wnp = Wnp(|г' - г"|). Тогда для
усредненной указанным выше образом и отнесенной к единице времени
вероятности перехода мы получаем
/ (г) - ^ z dz sin \аг д/(^2 + 0 (z2 ~ l)]exp [- bz2(x2 + 1)] X
Wf = Ф (r) (2я/г) 3/2exp(jpfR), Ef=EBy? + Pym.
(15.6')
(15.7')
VnP (r' - r'0 = &) Vn (О Un (r'0) + {^)\UP (r0 Up (r'0> ~
- -~T^(Un (П UP (*") + Up (r') Un (r'0). (15.8)
mnmp
oo
oo
9 = - В $ X (x) \ 4np (r)-^r [ j- J (r)] dt d%. (15.9)
0
0
Здесь
X( ) * exp[~!arctgT^-]
' (1 + x2)4 1 - exp (- 2ji/x)
(15.10)
oo
X sin [azr д/^2 + l]> (15.11)
128 ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
= 0,
г=0
Согласно сказанному в § 7, характерная длина, определяющая- в среднем -
скорость изменения случайного поля в пространстве, есть радиус корреляции
?0- Условие плавности случайного поля в рассматриваемой задаче сводится к
неравенству
ав<10. (15.13)
Мы вправе поэтому разложить функцию Ч;"Р(/') в (15.9) по степеням г,
ограничиваясь первым неисчезающим приближением. При этом возникают две
возможности:
dWnn (г)
б) ?'"(0)^0,
причем из физических соображений вытекает, что 4^(0) <0.
