Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
зом, вместо (II. 14) мы получим
Как и при г = 1, при | х - х'1 -*¦ 0 правая часть (11.18) оказалась бы
сингулярной: при суммировании по всем значениям компонент к мы получили
*) Строго говоря, выражение (II.15) справедливо лишь в приближении
изотропного континуума, когда компоненты тензора т) равно как и сама
функция Д(к), не зависят от к. В противном случае правая часть (11.15)
вместо 6(х -х') содержала бы функцию более сложного вида (но также с
острым пиком при |х - х/ |->0). В ряде задач, однако это обстоятельство
несущественно.
? (х, s') = TqQoC (1 - с) 6 (х - х').
(II. 16)
Полагая
'Тойос (1 - с) - Ф0,
(II. 16)
t,== * = ЧГоС(1-с) = -^.
(II. 15'
и (S) = uac (S) + U0JA (g),
(II. 17)
tfopt (k) = ЧсЛ'
(II. 17')
IN
2
el (k, x-хО (II> lg)
k
354
ПРИЛОЖЕНИЯ
бы сумму 6-функции от х - х' и ее производных. Соответственно вместо (II.
15) можно было бы положить
1Т, / V* " , С , М , и д26(х - х') , и д36 (X - х') •)
? (Х.Х ) = > Cl (1 - Cl) У Ь6 (х - X ) + ?> -1 г h ь " - гг г >,
' ' ' '4 \ "13 <9* 9лг ару 9л:. <?.e [
j \ ^ р 0(3Y-/
(II. 19)
где Ь, Ьар, Ьару - постоянные коэффициенты.
Неясно, однако, оправдано ли такое усложнение по сравнению с (11.15).
III*. Характеристический функционал гауссова случайного поля
Перепишем формулу (11.7.8) в виде
A (zl) = ^ехр | - iz ? ик1 (к) (III. 1)
где
<ш-2)
По определению среднего значения (математического ожидания) символ (...)
имеет следующий смысл:
ОО
(•••>= 5 Y[du'kdu"?[... Uk ...](...), (III. 3)
- оо к
где точками обозначено усредняемое выражение, а вещественные величины /
//
ик> ик определяются равенствами
г , • " г ' " п /ттт дч
"k = "k + 'Mk> ик = и-к' "k=-"-k- ПН- 4)
Подставляя выражения (11.7.12) и (III. 1) в правую часть (III. 3),
получаем там произведение гауссовых интегралов, что и приводит к формуле
(II. 7.20). Заметим, что выражение (III. 3) можно переписать и в
формально более компактном виде, не предполагающем непременного
разложения по полной ортогональной системе функций, образующих счетное
множество Именно:
(...)= J 6U 9[Щ (...), (III. 5)
^ 6U [U]= I. (III. 6)
Здесь символ ^ 6U ... обозначает континуальный интеграл.
IV*. Непосредственный расчет бинарной корреляционной функции
пуассоновского случайного поля
На основании равенств (II. 7.15), (II. 7.23) и (II. 7.25) мы имеем
N N N
V (х' - х") .<U (х') U (х")} = ? ? J П ПТ" V (Х" - V (Х" ~ R<') "
i_i i'= i /_i
- ? J dRV"(x'-x"-R)Ve(R). (IV. 1)
причем
ПРИЛОЖЕНИЯ
355
Представляя (R) в виде разложения Фурье:
Fa(R)= J dketkRVa(k), (IV.2)
получаем из (IV. 1)
V (х' - х") = (2л)3 ? па ^ dk | Va (к) |2 eik (х'~х">, (IV.3)
а
откуда и следует формула (II. 7.35). В частности, в случае (II. 7.31)
находим
* 4
2яя.е / г \
Т (х' - х") = го ехр-J. (IV.4)
где г = | х' - х" |, а
nt = ZnA (IV-5)
есть эффективная концентрация примеси.
С другой стороны, в случае короткодействующих сил Уд(к) да Va = const.
Тогда из формулы (IV. 3) получается выражение (II. 7.37в), причем
Ф0 = (2я)6?>а!/2. (IV.6)
а
V*. Характеристический функционал лоренцева случайного поля
Согласно (II. 7.8) и (II. 7.45) характеристический функционал лоренцева
случайного поля дается выражением
A {zl) = N jj bU [l + ^ dk U* (k) R~l (k) U (k)] 1 exp ( - iz ^ dk U (k)
I (k) j.
(V.l)
Удобно ввести вспомогательное интегрирование по вещественной переменной
t, полагая
-1 00
[l + (j dkU*(k)R~l (k) t/(k)] = jj dte-4-\ (V.2)
о
где точками обозначено выражение, стоящее в квадратных скобках в левой
части (V 2).
Подставляя (V. 2) в (V. 1), получаем
ОО
А (г/) = ^ e~lA [zl, t) dt, (V.3)
О
где
А
{zl, t) = N jj 6U exp ( - ^ dk V* (k) R(k) U (k) - iz ^ dk U (k) / (k) j.
(V.4)
Сравнивая (V.l) с (II. 7.19), видим, что А формально совпадает с
характеристическим функционалом некоторого гауссова поля, фурье-образ
корреляционной функции которого дается выражением
У-1 (k) =2tR~l (к). (V.5)
356
ПРИЛОЖЕНИЯ
Этот функционал правильно нормирован Действительно, если (в
соответствии с (II. 7.13)) Д(0, 0= I, то, согласно (V. 3), и .4(0) = I.
В силу (П. 7.20) и (V. 5) мы имеем
А (г/, /) = ехр{-~ J |/(k)|2/?(k)rfk}, (V.6)
и, следовательно,
оо
Л(г/) = ^ dt ехр {-t(V.7) .
о
где величина р дается формулой (II. 7.48). Интеграл, фигурирующий в
правой части (V. 7), непосредственно связан с функцией Макдональда Ki(p).
Действительно, при г > 0 справедливо интегральное представление
ОО
/Г* (2г) = ~ J ^ ехр (_ 1 ~ zVt)- (V'8)
о
Комбинируя равенства (V. 7) и (V. 8), получаем (II. 7.47).
VI*. Вычисление интеграла, фигурирующего в формуле (II. 9.31)
Полагая vm < 0, введем обозначение
I vm I + а. = р.
Тогда интеграл, фигурирующий в правой части (11.9.31), становится равным
У, где
^ sin (Is Кi (ms) ds. (VI.l)
/ =
0
Воспользуемся известным интегральным представлением для функции
Макдональда
ОО
Ki (xs)= ^ chte-*scht dt. (VI.2)
о
Подставляя (VI. 2) в (VI. 1) и меняя порядок интегрирования по t и s,
получаем
оо
/ = Д-^LlAl- =---------------------^1=. (VI.3)
