Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
соответствии с постановкой задачи пренебрежем также пространственной
дисперсией. Тогда интересующее нас выражение имеет вид ([14], § 15)
ОО
ац (и) = ~ (2я)' Sps jj dp р{ Дш ^ ^ dpQetpot X
- ОО
хж:[а' (,, + т) г(tm)(',+4' <L1)
Здесь Gc(p) - фурье-образ причинной функции Грина, символ Sps обозначает
шпур только по спиновым переменным, от - масса носителя заряда (истинная
или эффективная - в зависимости от постановки задачи). Символы р и к
обозначают четырехмерные переменные р = {fo, р}, к - {со, к}; И(r)* -
фурье-образ скалярной компоненты полной электромагнитной вершинной части.
Он определяется *) равенством
60-х(х\ х") с6Л0 (х)
= ^ ^ dP' dP" ге01 (Р'< Р"> ехР t~ i (Р', х' - х) + i (р", х" - а-)],
(1.2)
где х, хг х" - совокупности трех пространственных и одной временной
переменных, - А о - скалярный потенциал.
Напомним, что, помимо обычного усреднения по основному состоянию системы,
в определение функций Грина (а потому и вершинной части) у нас входит
также и усреднение по случайному полю. В частности, в
*) Принятые определения, равно как и доказательства дальнейших
утверждений относительно общих свойств функций Грина, можно найти,
например, g книге [14].
ПРИЛОЖЕНИЯ
345
одноэлектронной задаче мы имели бы (сравните с (1.6.9))
о , , п, 1 /¦V "Ф*. (*') х
Gc(x, х, ?)_ 2п Е _ ^ + 1щ (?•) )• t1-3)
где е->+0, а г] - знаковая функция:
г] (Е) = sign (Е - F) = | _ J' e^f'
В дальнейшем будет удобно воспользоваться обычной записью
°с (Р) = ~ "(2SF Ро ~ Е (р) - Afc (р, р0) ' (L4)
где М.с - массовый оператор*), сопоставленный причинной функции Грина, а
?(р)-энергия электрона, соответствующая решению вспомогательной задачи с
периодическим полем. В аналогичном виде можно представить и опережающую и
запаздывающую функции Грина, причем при Г = 0 имеют место соотношения
Gc (р) = 6 (Ро - ?о) Gr (р) + 0 (Fо - Ро) Ga (р), ... "
(р) = 6 (Ро ~ Ро) Mr (р) + 0 (Ро - Ро) Ма (р). (I-
Далее, при любой температуре и ро е Re
Re Gr (р) = Re Ga (p), Гш Gr (p) - - Im Ga (p). (1.6)
С помощью массового оператора удобно учитывать как взаимодействие
электронов друг с другом, с фононами и т. д., так и их взаимодействие со
случайным полем. В последнем случае, согласно (1.6.9), в области
дискретного спектра Im Мг = 0, коль скоро мы пренебрегаем взаимодействием
электронов с фононами.
Выполняя явно дифференцирование по <: в формуле (I. 1), мы получаем
aij ((r)) = + of}, (L7)
где
, йРйе'р°*Х
^->+0
^ж(2*Г3Р^РР^Пто J
- ОО
X rf (р, Ро + -у; Р, Ро f-) | О с (p. Po-f)^7 °° (р> ро+ т) ~
~°с (р- Ро+т)^7°с (р- р°~т) }* (L8)
оо
а?1 = (2л)4 Sp 5 rfp Pt 5 dPoeipat X
- oo
Хв,(р.г"+|-)о1(р.р0-|-)[^7ГГ(" + 1,р-Щ . (19)
J?="0
*) Это определение Mc отличается от принятого в [14] множителем (2л)8.
346
ПРИЛОЖЕНИЯ
1Л
При наличии поверхности Ферми, когда компоненты квазиимпульса при
энергии, близкой к фермиевской, представляют собой хорошие квантовые
числа, первая теорема о корреляции справедлива тривиально. По этой
причине мы будем рассматривать лишь характерный для неупорядоченных
систем случай, когда затухание фермиевских квазичастиц всюду конечно и
представление о четкой поверхности Ферми оказывается неоправданным*). При
этом фигурирующие в дальнейшем функции G,(p) и Ga{p) не имеют полюсов на
вещественной оси ра] далее, они суть непрерывные функции р.
Рассмотрим сначала второе слагаемое (1.9). Здесь удобно воспользоваться
графическим методом. Вершинная часть Г*,0) (р + k/2, р - ?/2)
определяется суммой диаграмм с тремя концами - одним фотонным и двумя
электронными, причем первому соответствует 4-импульс k, а второму и
третьему р + k/2, и р - k/2 (рис. 31) (сами концы в диаграмму не
включаются), В отсутствие каких-либо взаимодействий (в том числе и
взаимодействия электронов со случайным полем) мы имели бы
r<°V, р") = 1.
В общем случае можно написать
lf> (р', р") = 1 + Л (/, р").
(I. 10)
(1.11)
Любое взаимодействие, встречающееся в нерелятнвистекой квантовой
механике, можно представить как взаимодействие, переносимое некоторым
квантовым бозевским полем (последнее может носить и чисто вспомогательный
характер). Таким образом, типичные графики, входящие в состав Л, имеют
вид, представленный на рис. 32. Пунктирным и сплошным линиям там отвечают
"одетые" бозонные (Dc) и фермионные функции распространения; все вершины,
однако, рассматриваются как затравочные, (I. 10), в силу чего и надо
учитывать диаграммы типа рис. 32, в (их, как мы увидим, удобно
рассматривать попарно). Рассмотрим графики типа рис. 32, а, б порядка 2п.
С точностью до несущественного сейчас множителя им отвечают выражения
2 п
\ П °е (qi) dqlGc (Р+ + Ч\) Ga (0+ + Л + Ь) • • •
г-i
X G
qin-~qin)Gc(P--q!n)- (I-12)
Ч ?= ii)
Здесь для краткости введены обозначения:
р± = р ± k/2]
(I. 13)
*) Разумеется, понятие "уровень Ферми", будучи чисто термодинамнче-скихм,
остается в силе.
ПРИЛОЖЕНИЯ
347
/ь •... }п - какие-нибудь числа из набора 1, п. Дифференцируя (1.12) по
к,, получим сумму членов вида
